Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:
\int_{0}^{3} \int_{y^{2}}^{9} y \cos \left(x^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{3}\int_{y^{2}}^{9}y\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx\,dy
invertendo a ordem de integração. O conteúdo aplicado é mudança de ordem em integrais duplas e uso de substituição em integrais simples.

Passo 2

Descrevemos a região de integração D no plano (x,y) pelos limites originais
0\le y\le3,\quad y^{2}\le x\le9.
Para inverter a ordem, vemos que x varia entre o menor valor de y^2, ou seja 0, e o máximo 9. Para cada x fixo entre 0 e 9, a coordenada y vai de 0 até \sqrt{x}. Logo as novas variáveis têm limites
0\le x\le9,\quad 0\le y\le\sqrt{x}.

Passo 3

Reescrevendo a integral na ordem dx\,dy\to dy\,dx, obtemos
\int_{0}^{9}\int_{0}^{\sqrt{x}}y\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y, tratando \cos(x^2) como constante:
\int_{0}^{\sqrt{x}}y\,dy =\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{\sqrt{x}} =\tfrac{x}{2}.
Portanto a integral fica
\int_{0}^{9}\frac{x}{2}\,\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{9}x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Para \displaystyle\int_{0}^{9}x\cos(x^{2})\,dx usamos a substituição
u=x^{2},\quad du=2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{2}.
Quando x=0, u=0; quando x=9, u=81. Assim
\int_{0}^{9}x\cos(x^{2})\,dx =\int_{0}^{81}\cos(u)\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int_{0}^{81}\cos(u)\,du =\frac{1}{2}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{81} =\frac{\sin(81)}{2}.
Multiplicando o fator \tfrac12 que estava fora, temos
\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(81)}{2} =\frac{\sin(81)}{4}.

Resposta

\frac{\sin(81)}{4}

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