Calcule as integrais:
\iint_{R} x y d x d y, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=4 \mathrm{e} x^{2}+y^{2}=25.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R} x\,y \,dx\,dy
em que R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=25.
O conteúdo envolvido é integração dupla usando coordenadas polares e o que precisamos é:
  1. Fazer a mudança x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e usar o Jacobiano r.
  2. Determinar os limites: r vai de 2 a 5 e \theta vai de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
  3. Calcular as integrais radial e angular.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x\,y = r\cos\theta\;\cdot\;r\sin\theta = r^{2}\cos\theta\sin\theta
e
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Logo a integral vira
\iint_{R}x\,y\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=2}^{5} r^{2}\cos\theta\sin\theta \;\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\!\int_{2}^{5}r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 3

Como a região é um produto em r e \theta, separamos a integral em duas partes:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \int_{2}^{5}r^{3}\,dr.

Passo 4

Calcular a parte angular:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \frac12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2\theta)\,d\theta = \frac12\biggl[-\tfrac12\cos(2\theta)\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac12\bigl(1-0\bigr) = \frac12.

Passo 5

Calcular a parte radial e combinar:
\int_{2}^{5}r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{2}^{5} = \frac{5^{4}-2^{4}}{4} = \frac{625-16}{4} = \frac{609}{4}.
Multiplicando pelos \tfrac12 do ângulo, obtemos
\iint_{R}x\,y\,dx\,dy = \frac{609}{4}\times\frac12 = \frac{609}{8}.

Resposta

\frac{609}{8}

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