Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
invertendo a ordem de integração. O conteúdo envolvido é a troca de ordem em integrais duplas usando a região de integração no plano
.
Passo 2
Vamos descrever a região
Projetando
no eixo
, vemos que, como
vai de
a
e
, o menor valor de
é
(quando
) e o maior é
(quando
). Para cada
, a desigualdade
dá
, e sempre
. Logo, a projeção em
é
e para cada tal
,
Passo 3
Invertendo a ordem de integração, a integral fica
Como
não depende de
, fazemos primeiro a integral interna:
Assim a integral total é
Passo 4
Para calcular
usamos a substituição
, de modo que
ou
. Os limites em
vão de
a
. Logo,