Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:
\int_{0}^{1} \int_{3 y}^{3} e^{x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{3y}^{3}e^{x^{2}}\,dx\,dy
invertendo a ordem de integração. O conteúdo envolvido é a troca de ordem em integrais duplas usando a região de integração no plano xy.

Passo 2

Vamos descrever a região
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;3y\le x\le3\}.
Projetando D no eixo x, vemos que, como y vai de 0 a 1 e x\ge3y, o menor valor de x é 0 (quando y=0) e o maior é 3 (quando y=1). Para cada x\in[0,3], a desigualdade 3y\le x y\le x/3, e sempre y\ge0. Logo, a projeção em x é
0\le x\le3,
e para cada tal x,
0\le y\le \frac{x}{3}.

Passo 3

Invertendo a ordem de integração, a integral fica
\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{x/3}e^{x^{2}}\,dy\,dx.
Como e^{x^{2}} não depende de y, fazemos primeiro a integral interna:
\int_{y=0}^{x/3}e^{x^{2}}\,dy =e^{x^{2}}\bigg[y\bigg]_{0}^{x/3} =e^{x^{2}}\cdot\frac{x}{3}.
Assim a integral total é
\int_{0}^{3}e^{x^{2}}\cdot\frac{x}{3}\,dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{3}x\,e^{x^{2}}\,dx.

Passo 4

Para calcular
\frac{1}{3}\int_{0}^{3}x\,e^{x^{2}}\,dx,
usamos a substituição u=x^{2}, de modo que du=2x\,dx ou x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Os limites em u vão de u(0)=0 a u(3)=9. Logo,
\frac{1}{3}\int_{0}^{3}x\,e^{x^{2}}\,dx =\frac{1}{3}\int_{u=0}^{9}e^{u}\,\frac{1}{2}\,du =\frac{1}{6}\int_{0}^{9}e^{u}\,du =\frac{1}{6}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{9} =\frac{e^{9}-1}{6}.

Resposta

\frac{e^{9}-1}{6}.

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