Exercício 1. Esboce a região R indicada e calcule sua área:
R é o conjunto limitado pelas retas x=1, x=3, pelo eixo O_{x} e pelo gráfico de y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região R indicada e calcular a área de R.
Informações dadas:
  • As fronteiras verticais são as retas x=1 e x=3.
  • Uma das fronteiras é o eixo O_x (ou seja, a reta y=0).
  • A outra fronteira é o gráfico de y=x^{2}.
  • A região R é o conjunto limitado por essas quatro curvas/retas.

Passo 2

Esboço e descrição intuitiva da região.
  • A curva y=x^{2} para x>0 está acima do eixo O_x. Em particular, \,y(1)=1 e \,y(3)=9, isto é, os pontos (1,1) e (3,9) pertencem à parábola. (Peguei esses dados a partir do gráfico y=x^{2}.)
  • As retas verticais x=1 e x=3 marcam os limites esquerdo e direito da região.
  • O eixo O_x é a reta y=0, que será a fronteira inferior.
  • Portanto o esboço: desenhe os eixos, trace a parábola y=x^{2}, marque as linhas verticais em x=1 e x=3, e sombreie a região entre a parábola (acima) e o eixo O_x (abaixo), entre x=1 e x=3.
Visualização mental: é a “faixa” sob a parábola entre x=1 e x=3, até o eixo y=0.

Passo 3

Escolha do método (e por que ele funciona).
  • Para regiões limitadas por curvas que podem ser descritas como "altura entre duas funções de x" numa mesma abscissa, usamos integração em x. Aqui a região é simples no sentido vertical: para cada x com 1\le x\le3, a parte da região corresponde a y variando do y inferior até o y superior.
  • A fórmula geral para a área entre duas curvas é
\text{Área}=\int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx,Á
onde f(x) é a função de cima (maior) e g(x) a função de baixo (menor), e a,b são os limites em x.
  • No nosso caso:
    • o limite esquerdo é a=1,
    • o limite direito é b=3,
    • a função de cima é f(x)=x^{2} (a parábola),
    • a função de baixo é g(x)=0 (o eixo O_x).
  • Assim vamos calcular a área por
\text{Área}=\int_{1}^{3} \bigl(x^{2}-0\bigr)\,dx=\int_{1}^{3} x^{2}\,dx.Á

Passo 4

Cálculo passo a passo da integral.
  • Primeiro encontramos a antiderivada de x^{2}. Sabemos a regra de potências: para x^{n} com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=2, então
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.
  • Para a integral definida, avaliamos a antiderivada nos limites de 1 a 3:
\int_{1}^{3} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{3}=\frac{3^{3}-1^{3}}{3}.
  • Não simplifico o valor final neste passo (vou deixar a simplificação para a resposta final).

Passo 5

Interpretação e checagem rápida.
  • A expressão \frac{3^{3}-1^{3}}{3} representa exatamente a área da região R porque foi obtida usando a diferença entre a curva superior e a inferior ao longo do intervalo em x.
  • Como checagem rápida de coerência: a área é positiva (pois x^{2}\ge0 em [1,3]) e finita — isso bate com a ideia geométrica de uma faixa sob a parábola entre duas retas verticais.

Resposta

\dfrac{26}{3}

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