Exercício 1. Esboce a região
indicada e calcule sua área:
é o conjunto limitado pelas retas
, pelo eixo
e pelo gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região
indicada e calcular a área de
.
Informações dadas:
- As fronteiras verticais são as retas
e . - Uma das fronteiras é o eixo
(ou seja, a reta ). - A outra fronteira é o gráfico de
. - A região
é o conjunto limitado por essas quatro curvas/retas.
Passo 2
Esboço e descrição intuitiva da região.
- A curva
para está acima do eixo . Em particular, e , isto é, os pontos e pertencem à parábola. (Peguei esses dados a partir do gráfico .) - As retas verticais
e marcam os limites esquerdo e direito da região. - O eixo
é a reta , que será a fronteira inferior. - Portanto o esboço: desenhe os eixos, trace a parábola
, marque as linhas verticais em e , e sombreie a região entre a parábola (acima) e o eixo (abaixo), entre e .
Visualização mental: é a “faixa” sob a parábola entre
e
, até o eixo
.
Passo 3
Escolha do método (e por que ele funciona).
- Para regiões limitadas por curvas que podem ser descritas como "altura entre duas funções de
" numa mesma abscissa, usamos integração em . Aqui a região é simples no sentido vertical: para cada com , a parte da região corresponde a variando do inferior até o superior. - A fórmula geral para a área entre duas curvas é
onde
é a função de cima (maior) e
a função de baixo (menor), e
são os limites em
.
- No nosso caso:
- o limite esquerdo é
, - o limite direito é
, - a função de cima é
(a parábola), - a função de baixo é
(o eixo ).
- o limite esquerdo é
- Assim vamos calcular a área por
Passo 4
Cálculo passo a passo da integral.
- Primeiro encontramos a antiderivada de
. Sabemos a regra de potências: para com ,
Aqui
, então
- Para a integral definida, avaliamos a antiderivada nos limites de
a :
- Não simplifico o valor final neste passo (vou deixar a simplificação para a resposta final).
Passo 5
Interpretação e checagem rápida.
- A expressão
representa exatamente a área da região porque foi obtida usando a diferença entre a curva superior e a inferior ao longo do intervalo em . - Como checagem rápida de coerência: a área é positiva (pois
em ) e finita — isso bate com a ideia geométrica de uma faixa sob a parábola entre duas retas verticais.