Exercício 1. Esboce a região R indicada e calcule sua área:
A é o conjunto limitado pelos gráficos y=x^{2} e y=9-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região R indicada e calcular a área dessa região.
Informações dadas:
\text{A é o conjunto limitado pelos gráficos } y=x^{2}\text{ e } y=9-x^{2}.éá
Ou seja, temos duas curvas (duas parábolas) e queremos a área da região onde elas se interceptam e formam uma “lente” limitada.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Igualamos as duas expressões de y:
x^{2}=9-x^{2}.
Resolvendo essa equação:
2x^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{9}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Para esses x o valor de y é y=x^{2}=\dfrac{9}{2}. Então as interseções são os pontos
\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{9}{2}\right)\quad\text{e}\quad\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{9}{2}\right).
Esboço (descrevendo): a parábola y=x^{2} abre para cima com vértice em (0,0). A parábola y=9-x^{2} abre para baixo com vértice em (0,9). A região R é a “lente” entre essas duas parábolas, simétrica em relação ao eixo y, entre as abscissas -\dfrac{3\sqrt{2}}{2} e \dfrac{3\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Método para calcular a área: usamos a integral definida com fatias verticais. Explicação da ideia e da fórmula:
  • Se temos duas funções y=\text{top}(x) e y=\text{bottom}(x) em um intervalo [a,b], a área entre elas é
A=\int_{a}^{b}\big(\text{top}(x)-\text{bottom}(x)\big)\,dx.
Aqui x é a variável de integração que percorre o intervalo horizontal, \text{top}(x) é a função com maior valor de y em cada x e \text{bottom}(x) a menor. A interpretação geométrica é somar áreas de retângulos finos de largura dx e altura \text{top}(x)-\text{bottom}(x). Exemplo rápido e simples: a área entre y=x e y=0 de x=0 até x=1 é \int_{0}^{1}(x-0)\,dx=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Identificar qual é a função de cima e qual é a de baixo no intervalo de interesse \left[-\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right]. Calculamos a diferença:
(9-x^{2})-x^{2}=9-2x^{2}.
Para |x|\le\dfrac{3\sqrt{2}}{2} temos x^{2}\le\dfrac{9}{2}, logo 9-2x^{2}\ge 0. Assim y=9-x^{2} é a função de cima (top) e y=x^{2} é a de baixo (bottom) nesse intervalo.

Passo 5

Montar a integral da área usando os limites encontrados:
A=\int_{-\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}\big((9-x^{2})-x^{2}\big)\,dx =\int_{-\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}\big(9-2x^{2}\big)\,dx.
Observação útil para simplificar: a função integranda 9-2x^{2} é par (ou seja, f(-x)=f(x)), logo a integral sobre o intervalo simétrico é duas vezes a integral de 0 até \dfrac{3\sqrt{2}}{2}:
A=2\int_{0}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}\big(9-2x^{2}\big)\,dx.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo. Primeiro achamos uma primitiva de 9-2x^{2}:
\int\big(9-2x^{2}\big)\,dx=9x-\frac{2}{3}x^{3}+C.
Agora avaliamos de 0 até a=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}. Vamos calcular a^{3} cuidadosamente:
a=\frac{3\sqrt{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad a^{3}=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^{3} =\frac{27(\sqrt{2})^{3}}{8}=\frac{27\cdot 2\sqrt{2}}{8}=\frac{27\sqrt{2}}{4}.
Então
\left(9x-\frac{2}{3}x^{3}\right)\Bigg|_{0}^{a} =9a-\frac{2}{3}a^{3} =9\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{2}{3}\cdot\frac{27\sqrt{2}}{4}.
Calcule cada termo:
9\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{27\sqrt{2}}{2}, \qquad \frac{2}{3}\cdot\frac{27\sqrt{2}}{4}=\frac{54\sqrt{2}}{12}=\frac{9\sqrt{2}}{2}.
Subtraindo:
9a-\frac{2}{3}a^{3}=\frac{27\sqrt{2}}{2}-\frac{9\sqrt{2}}{2}=\frac{18\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}.
Lembrando do fator 2 lá em cima (pois usamos simetria), a área total é
A=2\cdot 9\sqrt{2}=18\sqrt{2}.

Passo 7

Conclusão e interpretação: a área da região R limitada pelas parábolas y=x^{2} e y=9-x^{2} é
A=18\sqrt{2}.
Força aí — se quiser, a gente pode desenhar passo a passo o esboço no papel: marca os vértices (0,0) e (0,9), plota as interseções \pm\frac{3\sqrt{2}}{2} na abscissa com altura \frac{9}{2} e liga com as curvas das parábolas; vai ficar uma lente bem simétrica.

Resposta

18\sqrt{2}

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