Esboço (descrevendo): a parábola y=x^{2} abre para cima com vértice em (0,0). A parábola y=9-x^{2} abre para baixo com vértice em (0,9). A região R é a “lente” entre essas duas parábolas, simétrica em relação ao eixo y, entre as abscissas -\dfrac{3\sqrt{2}}{2} e \dfrac{3\sqrt{2}}{2}.
Passo 3
Método para calcular a área: usamos a integral definida com fatias verticais. Explicação da ideia e da fórmula:
Se temos duas funções y=\text{top}(x) e y=\text{bottom}(x) em um intervalo [a,b], a área entre elas é
Aqui x é a variável de integração que percorre o intervalo horizontal, \text{top}(x) é a função com maior valor de y em cada x e \text{bottom}(x) a menor. A interpretação geométrica é somar áreas de retângulos finos de largura dx e altura \text{top}(x)-\text{bottom}(x). Exemplo rápido e simples: a área entre y=x e y=0 de x=0 até x=1 é \int_{0}^{1}(x-0)\,dx=\tfrac{1}{2}.
Passo 4
Identificar qual é a função de cima e qual é a de baixo no intervalo de interesse \left[-\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right]. Calculamos a diferença:
(9-x^{2})-x^{2}=9-2x^{2}.
Para |x|\le\dfrac{3\sqrt{2}}{2} temos x^{2}\le\dfrac{9}{2}, logo 9-2x^{2}\ge 0. Assim y=9-x^{2} é a função de cima (top) e y=x^{2} é a de baixo (bottom) nesse intervalo.
Passo 5
Montar a integral da área usando os limites encontrados:
Observação útil para simplificar: a função integranda 9-2x^{2} é par (ou seja, f(-x)=f(x)), logo a integral sobre o intervalo simétrico é duas vezes a integral de 0 até \dfrac{3\sqrt{2}}{2}:
Lembrando do fator 2 lá em cima (pois usamos simetria), a área total é
A=2\cdot 9\sqrt{2}=18\sqrt{2}.
Passo 7
Conclusão e interpretação: a área da região R limitada pelas parábolas y=x^{2} e y=9-x^{2} é
A=18\sqrt{2}.
Força aí — se quiser, a gente pode desenhar passo a passo o esboço no papel: marca os vértices (0,0) e (0,9), plota as interseções \pm\frac{3\sqrt{2}}{2} na abscissa com altura \frac{9}{2} e liga com as curvas das parábolas; vai ficar uma lente bem simétrica.