Calcule as integrais impróprias abaixo e classifique-as em convergente ou divergente
(Valor: 0,25 ) \int_{0}^{\infty} x e{-x{2}} d x$

Passo 1

No enunciado, temos a integral imprópria de 0 a ∞ de x e{−x2} dx. O conteúdo é integrais impróprias e vamos usar a técnica de substituição para resolvê-la e depois analisar sua convergência.

Passo 2

Para lidar com o limite infinito, reescrevemos a integral como um limite:
integral0^infty x e^-x^2 ,dx = limbtoinfty integral0^b x e^-x^2 ,dx
Fazendo a substituição u = x^2, temos du = 2x,dx, logo
x,dx = du2
Os limites em u ficam de 0 (quando x=0) até b^{2} (quando x=b).

Passo 3

Substituindo na integral interna:
integral0^b x e^-x^2 ,dx = integralu=0^u=b^2 e^-u du2 = 12 integral0^b^2 e^-u ,du
Agora integramos a exponencial:
12 integral0^b^2 e^-u ,du = 12 l[-e^-ur]0^b^2 = 12 l(1 - e^-b^2r)
Em seguida, aplicamos o limite em b:
limbtoinfty 12 l(1 - e^-b^2r) = 12 (1 - 0) = 12

Passo 4

Como o limite existe e é finito, a integral imprópria é convergente e seu valor é tfrac12.

Resposta

A integral converge e vale tfrac12.

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