Calcule as integrais impróprias abaixo e classifique-as em convergente ou divergente
(Valor: 0,25
\int_{0}^{\infty} x e{-x{2}} d x$
(Valor: 0,25
Passo 1
No enunciado, temos a integral imprópria de 0 a ∞ de x e{−x2} dx. O conteúdo é integrais impróprias e vamos usar a técnica de substituição para resolvê-la e depois analisar sua convergência.
Passo 2
Para lidar com o limite infinito, reescrevemos a integral como um limite:
Fazendo a substituição
, temos
, logo
Os limites em u ficam de 0 (quando x=0) até b^{2} (quando x=b).
Passo 3
Substituindo na integral interna:
Agora integramos a exponencial:
Em seguida, aplicamos o limite em b:
Passo 4
Como o limite existe e é finito, a integral imprópria é convergente e seu valor é
.
Resposta
A integral converge e vale
.