Calcule as integrais impróprias abaixo e classifique-as em convergente ou divergente
(Valor: 0,25
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(x-1)^{7 / 2}} d x$
(Valor: 0,25
Passo 1
Este exercício trata de uma integral imprópria com singularidade em x=1 e limite superior infinito. O conteúdo é o estudo de integrais do tipo p-integral, onde vamos precisar saber que
converge se e somente se
, mas também checar o comportamento perto de
.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável
. Assim, quando
temos
e quando
temos
. Além disso
, então
Passo 3
Para analisar a convergência, dividimos em duas partes:
-
: é uma p-integral com , logo essa parte converge. -
: novamente é p-integral com , mas num intervalo que contém o ponto singular em . Sabemos que diverge sempre que . Portanto essa parte diverge.
Passo 4
Como uma das partes diverge, a integral imprópria original diverge.
Resposta
A integral é divergente.