Calcule as integrais impróprias abaixo e classifique-as em convergente ou divergente
(Valor: 0,25 ) \int_{1}^{\infty} \frac{1}{(x-1)^{7 / 2}} d x$

Passo 1

Este exercício trata de uma integral imprópria com singularidade em x=1 e limite superior infinito. O conteúdo é o estudo de integrais do tipo p-integral, onde vamos precisar saber que integrala^inftyt^-pdt converge se e somente se p>1, mas também checar o comportamento perto de t=0.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável t=x-1. Assim, quando x=1 temos t=0 e quando xtoinfty temos ttoinfty. Além disso dx=dt, então
integral1^infty1(x-1)^7/2,dx=integral0^inftyt^-7/2,dt

Passo 3

Para analisar a convergência, dividimos em duas partes:
  • integral1^inftyt^-7/2dt: é uma p-integral com p=7/2>1, logo essa parte converge.
  • integral0^1t^-7/2dt: novamente é p-integral com p=7/2>1, mas num intervalo que contém o ponto singular em t=0. Sabemos que integral0^1t^-pdt diverge sempre que p>=1. Portanto essa parte diverge.

Passo 4

Como uma das partes diverge, a integral imprópria original diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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