1. Uma função f: R longrightarrow R é dita periódica quando existe um número real p>0, tal que f(x)=f(x+p), para todo x in R. Prove que toda a função periódica contínua admite máximo e admite mínimo.

Passo 1

O enunciado nos diz que f:RtoR é contínua e tem período p>0, isto é,
f(x+p)=f(x)para todo xinR
Queremos mostrar que existe MinR tal que f(x)<= M para todo x e existe minR tal que f(x)>= m para todo x, e que esses valores são realmente atingidos por f. Para isso, vamos usar o Teorema de Weierstrass, que garante extremos de funções contínuas em conjuntos compactos.

Passo 2

Como f é periódica de período p, bastará estudar seu comportamento no intervalo fechado e limitado
I = [0,p]
Esse intervalo é compacto, e f é contínua em I. Pelo Teorema de Weierstrass, concluímos que
existe xmaxin[0,p] tal que f(xmax)=maxxin[0,p]f(x),
e
existe xminin[0,p] tal que f(xmin)=minxin[0,p]f(x)

Passo 3

Definimos
M = f(xmax), m = f(xmin)
Então, para todo yin[0,p] vale
m <= f(y)<= M

Passo 4

Se x é um ponto quaisquer em R, existe um inteiro k tal que
y = x - k,p in [0,p]
Pela periodicidade,
f(x) = fl(y + k,pr) = f(y)
Como yin[0,p], temos m <= f(y)<= M. Logo
m <= f(x) <= M para todo xinR

Passo 5

Portanto f é limitada entre m e M, e como f(xmin)=m e f(xmax)=M, ela atinge esses valores. Concluímos que f admite mínimo m e admite máximo M.

Resposta

A função contínua e periódica f atinge seu mínimo m e seu máximo M definidos acima, portanto admite mínimo e máximo.

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