- Uma função
é dita periódica quando existe um número real
, tal que
, para todo
. Prove que toda a função periódica contínua admite máximo e admite mínimo.
Passo 1
O enunciado nos diz que
é contínua e tem período
, isto é,
Queremos mostrar que existe
tal que
para todo
e existe
tal que
para todo
, e que esses valores são realmente atingidos por
. Para isso, vamos usar o Teorema de Weierstrass, que garante extremos de funções contínuas em conjuntos compactos.
Passo 2
Como
é periódica de período
, bastará estudar seu comportamento no intervalo fechado e limitado
Esse intervalo é compacto, e
é contínua em
. Pelo Teorema de Weierstrass, concluímos que
e
Passo 3
Definimos
Então, para todo
vale
Passo 4
Se
é um ponto quaisquer em
, existe um inteiro
tal que
Pela periodicidade,
Como
, temos
. Logo
Passo 5
Portanto
é limitada entre
e
, e como
e
, ela atinge esses valores. Concluímos que
admite mínimo
e admite máximo
.
Resposta
A função contínua e periódica
atinge seu mínimo
e seu máximo
definidos acima, portanto admite mínimo e máximo.