- Existe exemplo de função contínua
definida no intervalo
cuja imagem é o intervalo
?
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma função contínua
tal que
O conteúdo principal é o Teorema do Valor Extremo, que diz respeito a funções contínuas em conjuntos compactos.
Passo 2
O Teorema do Valor Extremo afirma que toda função contínua em um conjunto compacto atinge valor mínimo e valor máximo. Como
é compacto e
é contínua, existem
Logo a imagem
é o intervalo fechado
.
Passo 3
O intervalo
é um conjunto fechado e compacto, mas
não é compacto (nem fechado). Portanto não é possível que
seja exatamente
.
Resposta
Não existe nenhuma função contínua
cuja imagem seja
.