1. Existe exemplo de função contínua f definida no intervalo [0,1] cuja imagem é o intervalo (0,1) ?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma função contínua fcolon[0,1]toR tal que
f([0,1])=(0,1)
O conteúdo principal é o Teorema do Valor Extremo, que diz respeito a funções contínuas em conjuntos compactos.

Passo 2

O Teorema do Valor Extremo afirma que toda função contínua em um conjunto compacto atinge valor mínimo e valor máximo. Como [0,1] é compacto e f é contínua, existem
m = minxin[0,1] f(x), M = maxxin[0,1] f(x)
Logo a imagem f([0,1]) é o intervalo fechado [m,M].

Passo 3

O intervalo [m,M] é um conjunto fechado e compacto, mas (0,1) não é compacto (nem fechado). Portanto não é possível que f([0,1]) seja exatamente (0,1).

Resposta

Não existe nenhuma função contínua fcolon[0,1]toR cuja imagem seja (0,1).

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