1. Seja A um conjunto formado pela união finita de intervalos fechados e limitados e seja f: A longrightarrow R uma função contínua. Mostre que f admite máximo e mínimo.

Passo 1

O enunciado diz que
A=cupi=1^n[ai,bi]
é união finita de intervalos fechados e limitados, e que
fcolon AtoR
é contínua. Queremos mostrar que existe xmin e xmax em A tais que
f(xmin)=minxin Af(x), f(xmax)=maxxin Af(x)
Vamos usar (i) o Teorema de Heine–Borel em R, (ii) que união finita de compactos é compacto, e (iii) o Teorema do Valor Extremo para funções contínuas em conjuntos compactos.

Passo 2

Cada intervalo fechado e limitado [ai,bi]subsetR é compacto pelo Teorema de Heine–Borel (compacto em R \Leftrightarrow\ fechado e limitado). Como A é união finita desses intervalos, concluímos que
A
é compacto, pois toda união finita de subconjuntos compactos em um espaço métrico é compacta.

Passo 3

Como f é contínua em A e A é compacto, a imagem f(A)subsetR também é compacta. Esse é um resultado geral: imagem contínua de conjunto compacto é compacto.

Passo 4

Em R, um conjunto compacto é fechado e limitado, logo admite supremo e ínfimo que pertencem ao próprio conjunto. Portanto existem
ymin=inf f(A), ymax=sup f(A)
e pontos xmin,xmaxin A tais que
f(xmin)=ymin, f(xmax)=ymax
Logo f atinge seu valor mínimo em xmin e seu valor máximo em xmax. Assim mostramos que f admite máximo e mínimo em A.

Resposta

A função f admite máximo e mínimo em A pela combinação de que A é compacto e f é contínua (Teorema do Valor Extremo).

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