- Seja
um conjunto formado pela união finita de intervalos fechados e limitados e seja
uma função contínua. Mostre que
admite máximo e mínimo.
Passo 1
O enunciado diz que
é união finita de intervalos fechados e limitados, e que
é contínua. Queremos mostrar que existe
e
em
tais que
Vamos usar (i) o Teorema de Heine–Borel em
, (ii) que união finita de compactos é compacto, e (iii) o Teorema do Valor Extremo para funções contínuas em conjuntos compactos.
Passo 2
Cada intervalo fechado e limitado
é compacto pelo Teorema de Heine–Borel (compacto em
\Leftrightarrow\ fechado e limitado). Como
é união finita desses intervalos, concluímos que
é compacto, pois toda união finita de subconjuntos compactos em um espaço métrico é compacta.
Passo 3
Como
é contínua em
e
é compacto, a imagem
também é compacta. Esse é um resultado geral: imagem contínua de conjunto compacto é compacto.
Passo 4
Em
, um conjunto compacto é fechado e limitado, logo admite supremo e ínfimo que pertencem ao próprio conjunto. Portanto existem
e pontos
tais que
Logo
atinge seu valor mínimo em
e seu valor máximo em
. Assim mostramos que
admite máximo e mínimo em
.
Resposta
A função
admite máximo e mínimo em
pela combinação de que
é compacto e
é contínua (Teorema do Valor Extremo).