Utilize a regra da cadeira para determinar partial zpartial s e partial zpartial t.
z=e^x y tan y, x=s+2 t, y=s / t

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais partial z/partial s e partial z/partial t da função
z = e^x y,tan y
onde
x = s + 2t, y = st
O conteúdo central é a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais de z em relação a x e y.
A derivada de e^xy em relação a x é y,e^xy, e tan y é tratada como constante, logo
partial zpartial x = partialpartial xl(e^xytan yr) = y,e^xy,tan y
Em relação a y temos dois termos (produto de e^xy e tan y):
partial zpartial y = partialpartial yl(e^xyr)tan y + e^xy,partialpartial yl(tan yr) = x,e^xy,tan y + e^xy,sec^2 y = e^xyl(xtan y + sec^2 yr)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a s e t:
partial xpartial s = 1, partial xpartial t = 2, partial ypartial s = 1t, partial ypartial t = -st^2

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
partial zpartial s = partial zpartial x,partial xpartial s + partial zpartial y,partial ypartial s,
partial zpartial t = partial zpartial x,partial xpartial t + partial zpartial y,partial ypartial t

Passo 5

Substituindo os resultados dos passos anteriores:
partial zpartial s = y,e^xytan y cdot 1 + e^xyl(xtan y + sec^2 yr)cdot1t = e^xy!l(ytan y + xtan y + sec^2 ytr),
partial zpartial t = y,e^xytan y cdot 2 + e^xyl(xtan y + sec^2 yr)cdotl(-st^2r) = e^xy!l(2ytan y - st^2,(xtan y + sec^2 y)r)
Lembrando que x=s+2t e y=s/t.

Resposta

partial zpartial s = e^xy!l(ytan y + xtan y + sec^2 ytr), partial zpartial t = e^xy!l(2ytan y - st^2,(xtan y + sec^2 y)r),
com x = s+2t e y = st.

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