Calcule as integrais improprias e avalie se convergem ou divergem
integral0^2 3x raizx d x

Passo 1

A questão pede para calcular integral0^23xraizx,dx e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias em pontos onde a função fica infinita (aqui em x=0), e vamos usar limites para tratar disso.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando: 3xraizx=3,x^-3/2

Passo 3

Em seguida, escrevemos a integral como um limite para lidar com a singularidade em x=0:
integral0^23,x^-3/2,dx=limepsilonto0^+integralepsilon^23,x^-3/2,dx

Passo 4

Agora encontramos a primitiva de 3x^-3/2. Sabemos que integral x^n,dx=x^n+1/(n+1) se nneq-1. Aqui n=-tfrac32, então
integral3x^-3/2,dx=3cdotx^-1/2-1/2=-6x^-1/2

Passo 5

Finalmente, avaliamos o limite:
limepsilonto0^+l[-6x^-1/2r]epsilon^2=limepsilonto0^+l(-6/raiz2+6/raizepsilonr)=+infty
Como o valor cresce sem limite, concluímos que a integral diverge.

Resposta

A integral diverge.

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