Encontre a solução do problema de valor inicial:
Determine o intervalo de validade da solução e encontre os pontos onde a solução tem um máximo local.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
com condição inicial
, depois determinar o intervalo de validade da solução (onde
) e achar os pontos de máximo local de
. Vamos usar separação de variáveis e teorema de existência de solução.
Passo 2
Separamos as variáveis:
Integramos ambos os lados:
Passo 3
Usando
na relação implícita
obtemos
Logo a solução geral ajustada ao valor inicial é
Passo 4
A equação original tem singularidade quando
, isto é
. Para descobrir onde a solução ameaça atingir
resolvemos
para cada sinal.
Para :
, então
não tem solução real.
Para :
, então
Para
Para
Como
fica na faixa
, a solução permanece em
até atingir
em
ou em
. Portanto o intervalo máximo de existência contendo
é
Passo 5
Para achar extremos de
calculamos
A condição de ponto crítico é
, isto é
O valor de
correspondente satisfaz a solução implícita:
ou seja
Dessa cúbica escolhemos a única raiz em
, que numéricamente é
Passo 6
Para
temos
e, como
,
, logo
. Para
até
,
mas
, logo
. Assim em
ocorre um máximo local.
Resposta
Solução implícita:
Intervalo de validade contendo
:
Ponto de máximo local:
onde
é a única raiz de
em
, aproximadamente