Encontre a solução do problema de valor inicial:
l d yd x=2 x+13 y^2-3 y(0)=0
Determine o intervalo de validade da solução e encontre os pontos onde a solução tem um máximo local.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
dydx = 2x+13y^2-3,
com condição inicial y(0)=0, depois determinar o intervalo de validade da solução (onde 3y^2-3neq0) e achar os pontos de máximo local de y(x). Vamos usar separação de variáveis e teorema de existência de solução.

Passo 2

Separamos as variáveis:
(3y^2 - 3),dy = (2x+1),dx
Integramos ambos os lados:
integral 3(y^2-1),dy = integral (2x+1),dx
implies y^3 - 3y = x^2 + x + C

Passo 3

Usando y(0)=0 na relação implícita y^3 - 3y = x^2 + x + C obtemos
0 - 0 = 0 + 0 + C ;Longrightarrow; C=0
Logo a solução geral ajustada ao valor inicial é
boxedy^3 - 3y = x^2 + x

Passo 4

A equação original tem singularidade quando 3y^2-3=0, isto é y=pm1. Para descobrir onde a solução ameaça atingir y=pm1 resolvemos
y=pm1 Longrightarrow (pm1)^3 - 3(pm1)=x^2 + x,
para cada sinal.
Para y=1: 1-3=-2, então x^2+x=-2 não tem solução real.
Para y=-1: -1+3=2, então
x^2 + x = 2 Longrightarrow x = 1 ou x=-2
Como y(0)=0 fica na faixa -1<y<1, a solução permanece em |y|<1 até atingir y=-1 em x=1 ou em x=-2. Portanto o intervalo máximo de existência contendo x=0 é
boxed(-2,,1)

Passo 5

Para achar extremos de y(x) calculamos
dydx = 2x+13(y^2-1)
A condição de ponto crítico é dydx=0, isto é
2x+1=0 Longrightarrow x = -tfrac12
O valor de y correspondente satisfaz a solução implícita:
y^3 - 3y = l(-tfrac12r)^2 + l(-tfrac12r) = tfrac14 - tfrac12 = -tfrac14,
ou seja
y^3 - 3y + tfrac14 = 0
Dessa cúbica escolhemos a única raiz em (-1,1), que numéricamente é
yl(-tfrac12r)approx 0,08353

Passo 6

Para x<-tfrac12 temos 2x+1<0 e, como |y|<1, 3(y^2-1)<0, logo dydx>0. Para x>-tfrac12 até 1, 2x+1>0 mas 3(y^2-1)<0, logo dydx<0. Assim em x=-tfrac12 ocorre um máximo local.

Resposta

Solução implícita:
y^3 - 3y = x^2 + x
Intervalo de validade contendo x=0:
(-2,,1)
Ponto de máximo local:
l(x,yr) = l(-tfrac12,;y0r),
onde y0 é a única raiz de y^3 -3y + tfrac14=0 em (-1,1), aproximadamente
y0 approx 0,08353

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