Nos exercícios 33-38, determine o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x.
sumn=0^infty (x-1)^2 n4 n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e a soma, em função de x, da série
sumn=0^infty(x-1)^2n4n
Essa é uma série de potências em (x-1)^2. Note que o termo n=0 está mal definido (divisão por zero), então reescrevemos a série como índice variando de n=1 a infty. Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois reconhecer uma soma conhecida (a série de Taylor de -ln(1-r)).

Passo 2

Seja
an = (x-1)^2n4n, n>=1
Aplicando o teste da razão:
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|(x-1)^2(n+1)4(n+1)cdot4n(x-1)^2n| =limntoinftyl|(x-1)^2nn+1r| =|x-1|^2
Convergência ocorre se
|x-1|^2<1Long<=ftrightarrow|x-1|<1

Passo 3

Testando as extremidades:
  1. Em x-1=1 (ou seja, x=2): cada termo vale tfrac14n, e sumn=1^infty tfrac1n diverge.
  2. Em x-1=-1 (ou seja, x=0): cada termo também vale tfrac14n, diverge do mesmo modo.
Portanto o intervalo de convergência é
0<x<2

Passo 4

Para a soma, note que dentro de |x-1|<1 podemos escrever
sumn=1^infty (x-1)^2n4n =14sumn=1^infty l[(x-1)^2r]^nn
Sabemos que para |r|<1 vale
sumn=1^infty r^nn=-lnl(1-rr)
Aqui r=(x-1)^2, logo a soma da série é
S(x)=14l(-lnl(1-(x-1)^2r)r) =-14lnl(1-(x-1)^2r)

Resposta

Intervalo de convergência: 0<x<2.
Soma da série em função de x:
S(x)=-14lnl(1-(x-1)^2r), 0<x<2

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