Nos exercícios 33-38, determine o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de .
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência e a soma, em função de , da série
Essa é uma série de potências em . Note que o termo está mal definido (divisão por zero), então reescrevemos a série como índice variando de a . Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois reconhecer uma soma conhecida (a série de Taylor de ).
Passo 2
Seja
Aplicando o teste da razão:
Convergência ocorre se
|x-1|^2<1Long<=ftrightarrow|x-1|<1
Passo 3
Testando as extremidades:
Em x-1=1 (ou seja, x=2): cada termo vale tfrac14n, e sumn=1^infty tfrac1n diverge.
Em x-1=-1 (ou seja, x=0): cada termo também vale tfrac14n, diverge do mesmo modo.
Portanto o intervalo de convergência é
0<x<2
Passo 4
Para a soma, note que dentro de |x-1|<1 podemos escrever