Calcule as integrais impróprias:
a) integral0^infty integral0^infty e^-(x+y) d x d y
b) integral duplaR^2 d x d y(1+x^2+y^2)^p
c) integral0^infty e^-alpha x^2-e^-beta x^2x d x(alpha>0, beta>0)
d) integral0^1 integral0^y^2 e^xy d x d y
e) integral0^infty integral0^infty d x d y(x^2+y^2+a^2)
f) integral duplaD ln raizx^2+y^2 d x d y, D: x^2+y^2 <= 1
g) integral duplaD d x d yraiz[3](x-y)^2, D:|x| <= 1,|y| <= 1
h) integral duplaD d x d yx^4+y^2, D: x >= 1, y >= x^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de várias integrais impróprias (singulares ou em domínios infinitos). O conteúdo envolvido inclui uso do Teorema de Fubini, mudança para coordenadas polares, fórmulas de integrais parâtricas e distinção de convergência. Vamos resolver cada item separadamente.

Passo 2

Para
integral0^inftyintegral0^inftye^-(x+y),dx,dy
usamos Fubini e fatoramos:
integral0^inftye^-xdx;integral0^inftye^-ydy =l[-e^-xr]0^infty;l[-e^-yr]0^infty =1cdot1=1

Passo 3

Para
passamos a coordenadas polares
Fazendo , , obtém-se
Multiplicando por e valor

Passo 4

Para
integral0^inftye^-alpha x^2-e^-beta x^2x,dx, alpha>0,;beta>0,
defina a função parâtrica
I(alpha,beta) =integral0^inftye^-alpha x^2-e^-beta x^2xdx
Derivando em alpha (mantendo beta fixo):
partial Ipartialalpha =-integral0^inftyx e^-alpha x^2dx =-12alpha
Logo
I(alpha,beta) =-12lnalpha +C(beta)
Como I(beta,beta)=0 obriga C(beta)=tfrac12lnbeta. Portanto
I(alpha,beta) =12lnbetaalpha

Passo 5

Para
integral0^1integral0^y^2e^xy,dx,dy
fazemos primeiro a integral em x:
integral0^y^2e^x/ydx =l[y,e^x/yr]0^y^2 =yl(e^y-1r)
Então
integral0^1yl(e^y-1r)dy =integral0^1y e^ydy-integral0^1y,dy
Integramos por partes em integral y e^ydy:
integral0^1y e^ydy =l[y e^y-e^yr]0^1=1, integral0^1y,dy=12
Logo o valor é 1-tfrac12=tfrac12.

Passo 6

Para
integral0^inftyintegral0^inftydx,dyx^2+y^2+a^2,
novamente coordenadas polares no primeiro quadrante ( r>=0, thetain[0,pi/2]):
integral0^pi/2dthetaintegral0^infty r,drr^2+a^2 =pi2integral0^inftyr,drr^2+a^2 =pi2cdotinfty
pois integral0^inftyr,drr^2+a^2=12l[ln(r^2+a^2)r]0^infty=infty.
Logo a integral diverge.

Passo 7

Para
integral duplaDlnraizx^2+y^2,dx,dy, D:,x^2+y^2<=1,
uso coordenadas polares ( lnraizx^2+y^2=ln r, Jacobiano r):
integral0^2pidthetaintegral0^1rln r,dr =2piintegral0^1rln r,dr
Calcula-se
integral0^1rln r,dr =[r^22ln r-integralr^22cdot1r,dr]0^1 =-14
Assim o valor é
2picdotl(-tfrac14r) =-pi2

Passo 8

Para
integral duplaDdx,dyraiz[3](x-y)^2, D:,|x|<=1,;|y|<=1,
faça a mudança de variável u=x-y, v=x+y. A região se transforma mas a integral em v é simplesmente extensão finita, e resta
integralu=-2^2|u|^-2/3(2-|u|),du =2integral0^2u^-2/3(2-u),du =9cdot2^1/3

Passo 9

Para
integral duplaDdx,dyx^4+y^2, D:,x>=1,;y>= x^2,
integramos em y primeiro:
integralx^2^inftydyx^4+y^2 =[1x^2arctanyx^2]y=x^2^infty =1x^2l(pi2-pi4r) =pi4x^2
Depois em x:
integral1^inftypi4x^2,dx =pi4l[-x^-1r]1^infty =pi4

Resposta

a) 1
b) convergente se p>1, valor pip-1
c) 12lnbetaalpha
d) 12
e) diverge
f) -pi2
g) 9cdot2^1/3
h) pi4

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