Calcule as integrais impróprias:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de várias integrais impróprias (singulares ou em domínios infinitos). O conteúdo envolvido inclui uso do Teorema de Fubini, mudança para coordenadas polares, fórmulas de integrais parâtricas e distinção de convergência. Vamos resolver cada item separadamente.
Passo 2
Para
usamos Fubini e fatoramos:
Passo 3
Para
passamos a coordenadas polares
Fazendo
,
, obtém-se
Multiplicando por e valor
Passo 4
Para
defina a função parâtrica
Derivando em
alpha (mantendo
beta fixo):
Logo
Como
I(beta,beta)=0 obriga
C(beta)=tfrac12lnbeta . Portanto
Passo 5
Para
fazemos primeiro a integral em
x :
Então
Integramos por partes em
integral y e^ydy :
Logo o valor é
1-tfrac12=tfrac12 .
Passo 6
Para
novamente coordenadas polares no primeiro quadrante (
r>=0 ,
thetain[0,pi/2] ):
pois
integral0^inftyr,drr^2+a^2=12l[ln(r^2+a^2)r]0^infty=infty .
Logo a integral diverge.
Logo a integral diverge.
Passo 7
Para
uso coordenadas polares (
lnraizx^2+y^2=ln r , Jacobiano
r ):
Calcula-se
Assim o valor é
Passo 8
Para
faça a mudança de variável
u=x-y ,
v=x+y . A região se transforma mas a integral em
v é simplesmente extensão finita, e resta
Passo 9
Para
integramos em
y primeiro:
Depois em
x :
Resposta
a)
1
b) convergente sep>1 , valor
pip-1
c)12lnbetaalpha
d)12
e) diverge
f)-pi2
g)9cdot2^1/3
h)pi4
b) convergente se
c)
d)
e) diverge
f)
g)
h)