Calcule as integrais.
a) integral duplaD(x^2+2 y) d x d y onde D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 4.
b) integral duplaD(x^2+y^2) d x d y onde D=(x, y) in R^2 ; 1 <= x^2+y^2 <= 4.
c) integral duplaD x^2 d x d y onde D=(x, y) in R^2 ; 4 x^2+y^2 <= 1.
d) integral duplaD e^x^2+y^2 d x d y onde D=(x, y) in R^2 ; 1 <= x^2+y^2 <= 4,-x <= y <= x e x >= 0.
e) integral duplaD sen(4 x^2+y^2) d x d y onde D=(x, y) in R^2 ; 4 x^2+y^2 <= 1 e y >= 0.
f) integral duplaD x d x d y onde D é a região limitada pela cardióide r=1-cos theta.
g) integral duplaD e^y-x^2y-x^2 d x d y onde D=(x, y) in R^2 ; 1+x^2 <= y <= 2+x^2, y >= x+x^2 e x >= 0. ( Sugestão: faça a mudança de variáveis u=y-x^2 e v=x ).
h) integral duplaD x d x d y onde D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2-x <= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular oito integrais duplas sobre regiões planas variadas, envolvendo usos de coordenadas polares, transformações lineares e mudança de variáveis. Vamos aproveitar simetrias e escolher sistemas de coordenadas adequados em cada caso, calculando o jacobiano e os limites de integração.

Passo 2

Para (a), a região é o disco de raio 2. Em coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, 0<= r<=2,;0<=theta<=2pi,
e o jacobiano é r. A integral fica
integral duplaD(x^2+2y),dx,dy =integral0^2pi!!integral0^2l(r^2cos^2theta+2rsinthetar),r,dr,dtheta
Separamos em duas partes. A que envolve sintheta zera pois
integral0^2pisintheta,dtheta=0. A outra é
integral0^2picos^2theta,dtheta=pi, integral0^2r^3,dr=2^44=4,
logo o valor é 4pi.

Passo 3

Para (b), a região é o anel 1<= x^2+y^2<=4. Em polares x^2+y^2=r^2, rin[1,2], thetain[0,2pi], jacobiano r. Então
integral duplaD(x^2+y^2),dx,dy =integral0^2pi!!integral1^2r^2cdot r,dr,dtheta =2piintegral1^2r^3,dr =2picdot2^4-1^44 =15pi2

Passo 4

Para (c), a região é a elipse 4x^2+y^2<=1. Fazemos a troca
u=2x, v=yLongrightarrow x=u2,;y=v,
com jacobiano tfrac12. Então
integral duplaDx^2,dx,dy =integral duplau^2+v^2<=1l(u2r)^2cdot12,du,dv =18integral duplau^2+v^2<=1u^2,du,dv
Em polares em (u,v): u=rcostheta, v=rsintheta, rin[0,1], thetain[0,2pi]. Assim
18integral0^2pi!!integral0^1r^2cos^2theta;r,dr,dtheta =18l(integral0^1r^3,drr)l(integral0^2picos^2theta,dthetar) =18cdot14cdotpi =pi32

Passo 5

Para (d), a região em coordenadas polares é
1<= r^2<=4, -x<= y<= x,;x>=0 ;Longrightarrow; rin[1,2],;thetainl[-tfracpi4,tfracpi4r]
O integrando é e^x^2+y^2=e^r^2 e o jacobiano é r. Então
integral duplaDe^x^2+y^2,dx,dy =integral-pi/4^pi/4!!integral1^2e^r^2,r,dr,dtheta
Fazendo t=r^2, dt=2r,dr, obtemos
integral1^2e^r^2r,dr =12l[e^r^2r]1^2 =e^4-e2,
e integrando em theta sobre comprimento tfracpi2
pi2cdote^4-e2 =pi4l(e^4-er)

Passo 6

Para (e), a região é a metade superior da elipse 4x^2+y^2<=1. Usamos
u=2x,;v=y, u^2+v^2<=1,;v>=0,
jacobiano tfrac12. O integrando fica sin(u^2+v^2). Em polares (u,v): rin[0,1], thetain[0,pi]. Assim
integral duplaDsin(4x^2+y^2),dx,dy =12integral0^pi!!integral0^1sin(r^2),r,dr,dtheta
Com t=r^2, r,dr=dt/2, obtemos
12integral0^pi!!integral0^1sin(t),dt2,dtheta =pi4integral0^1sin(t),dt =pi4l(1-cos(1)r)

Passo 7

Para (f), a região é a cardióide r=1-costheta. Em polares o integrando x=rcostheta e jacobiano r geram
integral duplaDx,dx,dy =integral0^2pi!!integral0^1-costhetar^2costheta,dr,dtheta =13integral0^2pi(1-costheta)^3costheta,dtheta
Expandindo e usando
integral0^2picostheta,dtheta=0, integral0^2picos^2theta,dtheta=pi,
integral0^2picos^3theta,dtheta=0, integral0^2picos^4theta,dtheta=tfrac3pi4,
acha-se
13l(-3pi-tfrac3pi4r) =-5pi4

Passo 8

Para (g), fazemos u=y-x^2,;v=x. Então 1+x^2<= y<=2+x^2 vira 1<= u<=2, e y>= x+x^2 vira u>= v. Como x>=0, fica
1<= u<=2, 0<= v<= u,
e o jacobiano é 1. O integrando vira e^u/u. Logo
integral duplaDe^,y-x^2y-x^2,dx,dy =integralu=1^2!!integralv=0^ue^uu,dv,du =integral1^2e^u,du =e^2-e

Passo 9

Para (h), a região é o disco (x-tfrac12)^2+y^2<=tfrac14. Fazemos u=x-tfrac12,;v=y, então x=u+tfrac12 e dx,dy=du,dv. Assim
integral duplaDx,dx,dy =integral duplau^2+v^2<=14l(u+tfrac12r),du,dv =underbraceintegral dupla u,du,dv0 +12underbraceáreapi(tfrac12)^2 =12cdotpi4 =pi8 á

Resposta

(a) 4pi
(b) tfrac15pi2
(c) tfracpi32
(d) tfracpi4l(e^4-er)
(e) tfracpi4l(1-cos(1)r)
(f) -tfrac5pi4
(g) e^2 - e
(h) tfracpi8

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