Calcule as integrais.
a) onde .
b) onde .
c) onde .
d) onde e .
e) onde e .
f) onde é a região limitada pela cardióide .
g) onde e . ( Sugestão: faça a mudança de variáveis e ).
h) onde .
Passo 1
O enunciado pede para calcular oito integrais duplas sobre regiões planas variadas, envolvendo usos de coordenadas polares, transformações lineares e mudança de variáveis. Vamos aproveitar simetrias e escolher sistemas de coordenadas adequados em cada caso, calculando o jacobiano e os limites de integração.
Passo 2
Para (a), a região é o disco de raio 2. Em coordenadas polares:
e o jacobiano é . A integral fica
Separamos em duas partes. A que envolve zera pois . A outra é
logo o valor é .
Passo 3
Para (b), a região é o anel . Em polares , , , jacobiano . Então
Passo 4
Para (c), a região é a elipse . Fazemos a troca
com jacobiano . Então
Em polares em : , , , . Assim
Passo 5
Para (d), a região em coordenadas polares é
O integrando é e o jacobiano é . Então
Fazendo , , obtemos
e integrando em sobre comprimento dá
Passo 6
Para (e), a região é a metade superior da elipse . Usamos
jacobiano . O integrando fica . Em polares : , . Assim
Com , , obtemos
Passo 7
Para (f), a região é a cardióide . Em polares o integrando e jacobiano geram
Expandindo e usando , , , ,
acha-se
Passo 8
Para (g), fazemos . Então vira , e vira . Como , fica
e o jacobiano é . O integrando vira . Logo
Passo 9
Para (h), a região é o disco . Fazemos , então e . Assim