Calcule as integrais triplas:
a) integral triplaD x y z d x d y d z onde D=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1,0 <= z <= 2
b) integral0^pi integral0^z integral0^y z cos xy d x d y d z
c) integral triplaD x y^2 z^3 d x d y d z onde D=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1
d) integral triplaD(x^2+z^2) d x d y d z onde D é o cilíndro x^2+y^2 <= 1,0 <= z <= 1.
e) integral triplaD y d x d y d z onde D é o conjunto x^2+4 y^2 <= 1,0 <= z <= 1.
f) integral triplaD cos z d x d y d z onde D é o conjunto 0 <= x <= pi2, 0 <= y <= pi2 e x-y <= z <= x+y.
g) integral2^3 integral0^3 y integral1^y z(2 x+y+z) d x d y d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular sete integrais triplas sobre domínios D diversos, usando teoria de integrais múltiplas. Vamos aplicar o Teorema de Fubini para escrever como iteradas, explorar fatoração em paralelepípedos, usar mudança de variáveis (coordenadas polares ou afin), simetria e identidades trigonométricas quando precisar.

Passo 2

Para
integral triplaD x y z ,dx,dy,dz, D=0<= x<=2,;0<= y<=1,;0<= z<=2,
como a região é um produto de intervalos, fatoramos:
l(integral0^2x,dxr)l(integral0^1y,dyr)l(integral0^2z,dzr) =2^22cdot1^22cdot2^22 =2cdot12cdot2 =2

Passo 3

Para
integral0^pi!integral0^z!integral0^y zcosxy,dx,dy,dz,
fazemos a mudança t=xy, dx=y,dt, limites x=0to y z viram t=0to z. Então
integral0^y zcosxy,dx =yintegral0^zcos t,dt =yl[sin tr]0^z =ysin z
Substituindo na integral dupla em y,z:
integral0^pi!integral0^zysin z,dy,dz =integral0^pisin zl[y^22r]0^zdz =12integral0^piz^2sin z,dz
Integramos por partes duas vezes e obtemos
integral0^piz^2sin z,dz=pi^2-4,
logo o valor final é
12(pi^2-4)

Passo 4

Para
integral triplaDx y^2 z^3,dx,dy,dz, D=0<= x,y,z<=1,
novamente fatoramos em [0,1]^3:
l(integral0^1x,dxr)l(integral0^1y^2,dyr)l(integral0^1z^3,dzr) =12cdot13cdot14 =124

Passo 5

Para
integral triplaD(x^2+z^2),dV, D:;x^2+y^2<=1,;0<= z<=1,
separamos
integral0^1!integral duplax^2+y^2<=1x^2,dA,dz +integral0^1z^2,dz;integral duplax^2+y^2<=1dA
Usando coordenadas polares no disco unidade,
integral dupla x^2,dA=tfracpi4 e integral dupla dA=pi. Então
integral0^1pi4,dz+integral0^1z^2dz;pi =pi4+pi3 =7pi12

Passo 6

Para
integral triplaDy,dV, D:;x^2+4y^2<=1,;0<= z<=1,
notamos que o integrando y é ímpar em relação a y num elipse simétrico em cima e embaixo. Assim a parte em x,y anula-se e o fator integral0^1dz=1 não muda isso. Logo o valor é
0

Passo 7

Para
integral triplaDcos z,dV, D:;0<= x<=pi2,;0<= y<=pi2,;x-y<= z<= x+y,
integramos primeiro em z:
integralz=x-y^x+ycos z,dz =l[sin zr]x-y^x+y =sin(x+y)-sin(x-y) =2cos xsin y
Restam
integral0^pi2!integral0^pi22cos xsin y,dy,dx =2l(integral0^pi2cos x,dxr)l(integral0^pi2sin y,dyr) =2cdot1cdot1 =2

Passo 8

Para
integral2^3integral0^3zintegral1^y z(2x+y+z),dx,dy,dz
(assumindo que o segundo limite é 0<= y<=3z), integramos em x:
integral1^yz(2x+y+z),dx =l[x^2+(y+z)xr]1^yz =y^2z^2+y^2z+yz^2-1-y-z
Em seguida em y de 0 a 3z e depois em z de 2 a 3, dá, após cálculo polinomial,
75615

Resposta

a) 2
b) pi^2-42
c) 124
d) 7pi12
e) 0
f) 2
g) 75615

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