Calcule as integrais triplas:
a)
onde
b)
c)
onde
d)
onde
é o cilíndro
.
e)
onde
é o conjunto
.
f)
onde
é o conjunto
e
.
g)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
O enunciado pede para calcular sete integrais triplas sobre domínios
diversos, usando teoria de integrais múltiplas. Vamos aplicar o Teorema de Fubini para escrever como iteradas, explorar fatoração em paralelepípedos, usar mudança de variáveis (coordenadas polares ou afin), simetria e identidades trigonométricas quando precisar.
Passo 2
Para
como a região é um produto de intervalos, fatoramos:
Passo 3
Para
fazemos a mudança
,
, limites
viram
. Então
Substituindo na integral dupla em
:
Integramos por partes duas vezes e obtemos
logo o valor final é
Passo 4
Para
novamente fatoramos em
:
Passo 5
Para
separamos
Usando coordenadas polares no disco unidade,
e
. Então
Passo 6
Para
notamos que o integrando
é ímpar em relação a
num elipse simétrico em cima e embaixo. Assim a parte em
anula-se e o fator
não muda isso. Logo o valor é
Passo 7
Para
integramos primeiro em
:
Restam
Passo 8
Para
(assumindo que o segundo limite é
), integramos em
:
Em seguida em
de
a
e depois em
de
a
, dá, após cálculo polinomial,
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
b)
c)
d)
e)
f)
g)