Seja T: R^n R^n uma transformação linear tal que T^2=0 (transformação nula composta com ela mesma).
(a) Mostre que Im(T) subseteq ker(T).
(b) Prove que rank(T) <= 12 dim R^n.

Lista sobre autovalores e autovetores e diagonalização de operadores

1
Determine os autovalores e autovetores da matriz:
F=(lll 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 )

Passo 1

Resumindo o enunciado temos dois problemas:
– Um operador linear Tcolon R^nto R^n satisfazendo T^2=0. Pede-se (a) mostrar Im(T)subseteqker(T) e (b) provar rank(T)<=12dim R^n.
– A matriz
F=0&1&00&0&11&0&0
e a tarefa de determinar seus autovalores e autovetores.

Passo 2

Para (a), tome winIm(T). Então existe v tal que w=T(v). Como T^2=0,
T(w)=Tl(T(v)r)=0,
logo winker(T). Assim de fato
Im(T)subseteqker(T)

Passo 3

Para (b), use o Teorema da Dimensão (rank–nullity):
rank(T)+dimker(T)=dim R^n
Como de (a) temos rank(T)=dimIm(T)<=dimker(T), segue
2,rank(T)<= rank(T)+dimker(T)=dim R^n ;Longrightarrow; rank(T)<=12,dim R^n

Passo 4

Para a matriz F, note que
F^3=ILongrightarrowdet(F-lambda I)=-lambda^3+1,
pois o polinômio característico satisfaz lambda^3=1. Portanto os autovalores são as três raízes cúbicas da unidade:
lambda1=1, lambda2=e^2pi i/3, lambda3=e^4pi i/3

Passo 5

Para cada lambdak satisfazendo lambdak^3=1, um autovetor correspondente é
vk = 1lambdaklambdak^2,
pois
Fvk = lambdaklambdak^21 =lambdak1lambdaklambdak^2
Em particular, para lambda1=1 obtemos o autovetor real
,(1,1,1)^T, enquanto para lambda2,lambda3 os autovetores são complexos.

Resposta

(a) Im(T)subseteqker(T).
(b) rank(T)<=12dim R^n.
Autovalores de F: 1, e^2pi i/3, e^4pi i/3.
Autovetor real para lambda=1: ,(1,1,1)^T.
Autovetores para lambda2,lambda3: proporcionais a l(1,lambdak,lambdak^2r)^T.

Exercícios relacionados