Seja uma transformação linear tal que (transformação nula composta com ela mesma).
(a) Mostre que .
(b) Prove que .
Lista sobre autovalores e autovetores e diagonalização de operadores
1
Determine os autovalores e autovetores da matriz:
Passo 1
Resumindo o enunciado temos dois problemas:
– Um operador linear Tcolon R^nto R^n satisfazendo T^2=0. Pede-se (a) mostrar Im(T)subseteqker(T) e (b) provar rank(T)<=12dim R^n.
– A matriz
F=0&1&00&0&11&0&0
e a tarefa de determinar seus autovalores e autovetores.
Passo 2
Para (a), tome winIm(T). Então existe v tal que w=T(v). Como T^2=0,
T(w)=Tl(T(v)r)=0,
logo winker(T). Assim de fato
Im(T)subseteqker(T)
Passo 3
Para (b), use o Teorema da Dimensão (rank–nullity):
rank(T)+dimker(T)=dim R^n
Como de (a) temos rank(T)=dimIm(T)<=dimker(T), segue
pois o polinômio característico satisfaz lambda^3=1. Portanto os autovalores são as três raízes cúbicas da unidade:
lambda1=1, lambda2=e^2pi i/3, lambda3=e^4pi i/3
Passo 5
Para cada lambdak satisfazendo lambdak^3=1, um autovetor correspondente é
vk = 1lambdaklambdak^2,
pois
Fvk = lambdaklambdak^21 =lambdak1lambdaklambdak^2
Em particular, para lambda1=1 obtemos o autovetor real ,(1,1,1)^T, enquanto para lambda2,lambda3 os autovetores são complexos.
Resposta
(a) Im(T)subseteqker(T).
(b) rank(T)<=12dim R^n.
Autovalores de F: 1, e^2pi i/3, e^4pi i/3.
Autovetor real para lambda=1: ,(1,1,1)^T.
Autovetores para lambda2,lambda3: proporcionais a l(1,lambdak,lambdak^2r)^T.