Calcule as integrais impróprias se elas convergirem:
integral0^1 ln (x)x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^1 ln(x)x,dx
Ela é imprópria porque o integrando fica singular em x=0. Para estudá-la, vamos achar uma antiderivada de ln(x)x e depois tomar o limite da integral de varepsilon até 1 quando varepsilonto0^+.

Passo 2

Para encontrar a antiderivada, observamos que
ddxl((ln(x))^2r) =2,ln(x),1x =2,ln(x)x
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integral ln(x)x,dx =12(ln(x))^2 + C

Passo 3

Definindo a integral própria de varepsilon até 1, temos
integralvarepsilon^1ln(x)x,dx =[12(ln(x))^2]varepsilon^1 =12l(ln(1)r)^2-12l(ln(varepsilon)r)^2 =-12l(ln(varepsilon)r)^2

Passo 4

Agora analisamos o limite quando varepsilonto0^+. Como ln(varepsilon)to -infty, segue que (ln(varepsilon))^2to+infty e
-tfrac12(ln(varepsilon))^2 ;longrightarrow;- infty
Portanto a integral não se aproxima de um valor finito.

Resposta

A integral integral0^1ln(x)x,dx diverge (vai para -infty).

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