Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
.
Passo 1
Então, temos a equação diferencial
com a condição inicial
. Vamos resolver isso usando a técnica de separação de variáveis, que é uma maneira de reorganizar a equação para que todas as expressões com
fiquem de um lado e as com
do outro. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar os termos com
e
:
Agora, vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por
:
Aqui, conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 3
Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar as funções primitivas. A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
:
Integrando, obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
exponenciando ambos os lados da equação:
Podemos simplificar
para uma nova constante
:
Passo 5
Usando a condição inicial
, vamos encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: