Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
(1+x^2) d y+y d x=0 ; y(1)=1.

Passo 1

Então, temos a equação diferencial (1 + x^2) dy + y dx = 0 com a condição inicial y(1) = 1. Vamos resolver isso usando a técnica de separação de variáveis, que é uma maneira de reorganizar a equação para que todas as expressões com y fiquem de um lado e as com x do outro. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar os termos com dy e dx:
(1 + x^2) dy = -y dx
Agora, vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por y(1 + x^2):
dyy = -dx1 + x^2
Aqui, conseguimos separar as variáveis y e x em lados opostos da equação.

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar as funções primitivas. A integral do lado esquerdo é integral 1y dy e a do lado direito é integral -11 + x^2 dx:
integral 1y dy = integral -11 + x^2 dx
Integrando, obtemos:
ln|y| = -arctan(x) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver para y exponenciando ambos os lados da equação:
y = e^-arctan(x) + C = e^C cdot e^-arctan(x)
Podemos simplificar e^C para uma nova constante K:
y = K cdot e^-arctan(x)

Passo 5

Usando a condição inicial y(1) = 1, vamos encontrar o valor de K. Substituindo x = 1 e y = 1:
1 = K cdot e^-arctan(1)
Sabemos que arctan(1) = pi4, então:
1 = K cdot e^-pi4
Resolvendo para K:
K = e^pi4

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = e^pi4 cdot e^-arctan(x)

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