Determine o comprimento de arco do gráfico da função f definida por f(x)=x^23 entre os pontos (8,3) e (27,89).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco do gráfico da função
f(x)=x^tfrac23
no intervalo de x=8 até x=27.
Para isso vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma curva dada por y=f(x):
L=integrala^braiz1+l(f'(x)r)^2;dx,,
com a=8 e b=27.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f(x)=x^tfrac23 Longrightarrow f'(x)=tfrac23,x^-tfrac13

Passo 3

Substituímos na integral de comprimento de arco:
L =integral8^27raiz1+l(tfrac23x^-tfrac13r)^2;dx =integral8^27raiz1+tfrac49,x^-tfrac23;dx

Passo 4

Colocamos sobre um único radicando:
raiz1+tfrac49x^-tfrac23 =raiz9x^tfrac23+49x^tfrac23 =raiz9x^tfrac23+43,x^tfrac13
Fica
L =integral8^27raiz9x^tfrac23+43,x^tfrac13;dx

Passo 5

Fazemos a substituição
u=3,x^tfrac13 Longrightarrow x^tfrac13=u3, x=l(u3r)^3,
dx=u^29;du
Note que a integral vira
L =integral raizu^2+4u;u^29,du =19integral u,raizu^2+4;du
E a primitiva de uraizu^2+4 é
integral uraizu^2+4;du =13l(u^2+4r)^tfrac32
Logo
L =19cdot13,l(u^2+4r)^tfrac32 =127,l(u^2+4r)^tfrac32

Passo 6

Voltando a x, temos u=3x^tfrac13, então
L =127l(9x^tfrac23+4r)^tfrac32 g|x=8^x=27
Em x=27:
9cdot27^tfrac23+4=9cdot9+4=85 Longrightarrow (85)^tfrac32=85raiz85
Em x=8:
9cdot8^tfrac23+4=9cdot4+4=40 Longrightarrow (40)^tfrac32=40raiz40=80raiz10
Portanto
L =127l(85raiz85-80raiz10r)

Resposta

L=85raiz85-80raiz1027

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