Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
y^prime(x)=x y(x) .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'(x)=x,y(x)
usando a técnica de separação de variáveis. O conteúdo é EDOs separáveis e vamos precisar separar os termos em y de um lado e em x de outro, integrar e depois usar exponenciais para isolar y.

Passo 2

Aplicamos separação de variáveis, colocando y e dy de um lado e x e dx do outro:
dyy=x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados. Sabemos que integral y^-1dy=ln|y| e integral x,dx=tfracx^22, logo
integral 1y,dy = integral x,dx Longrightarrow ln|y| = x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para encontrar y, exponenciamos:
|y| = e^x^22+C = e^C,e^x^22
Definindo C1=pm e^C (constante arbitrária real), obtemos
y = C1,e^x^22

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = C,e^x^22,
onde C é constante real.

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