f(x, y)=cc x y^2x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
é contínua em (0,0) ?. Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx,y^2x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pergunta se f é contínua em (0,0). Vamos usar o conceito de limite em R^2 para verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
]

Passo 2

Recordando a definição: f é contínua em (0,0) se, ao levar (x,y) para (0,0), f(x,y) tender a f(0,0). Aqui queremos mostrar
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 3

Para estimar o limite, usamos coordenadas polares: coloque
x=rcostheta, y=rsintheta, r=raizx^2+y^2
Então, para (x,y)neq(0,0),
f(x,y) =(rcostheta),(rsintheta)^2r^2 =rcostheta,sin^2theta
Logo
l|f(x,y)r| = r;|costheta|,sin^2theta <= rcdot1cdot1 = r
Como rto0 quando (x,y)to(0,0), segue que l|f(x,y)r|to0.

Passo 4

Visto que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0 e f(0,0)=0, concluímos pela definição que f é contínua em (0,0).

Resposta

Sim, f é contínua em (0,0).

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