Calcule as integrais impróprias ou diga quando são divergentes.
\int_{0}^{1} \frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2 x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{1}\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x}}\,dx.
Observamos que o denominador se anula em x=0, gerando um ponto de descontinuidade no limite inferior. Para resolver, vamos usar substituição de variável.

Passo 2

Repare que se definirmos
u = x^{2}+2x,
então
\frac{du}{dx} = 2(x+1) \quad\Longrightarrow\quad (x+1)\,dx = \tfrac12\,du.

Passo 3

Quando x varia de 0 a 1, temos
u(0)=0,\quad u(1)=1^{2}+2\cdot1=3.
Substituindo na integral original:
\int_{0}^{1}\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x}}\,dx = \int_{u=0}^{3}\frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac12\,du.

Passo 4

A integral em u fica
\frac12\int_{0}^{3}u^{-\tfrac12}\,du.
Como o expoente -\tfrac12 é maior que -1, a integral converge no ponto u=0.

Passo 5

Calculando:
\frac12\int_{0}^{3}u^{-\tfrac12}\,du = \frac12\Bigl[2u^{\tfrac12}\Bigr]_{0}^{3} = \bigl[u^{\tfrac12}\bigr]_{0}^{3} = \sqrt{3}-0 = \sqrt{3}.

Resposta

A integral converge e vale \sqrt{3}.

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