Calcule as integrais impróprias ou diga quando são divergentes.
\int_{0}^{1} x \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{1} x \ln(x)\,dx
que é imprópria em x=0 por conta de \ln(x)\to -\infty. O conteúdo principal aqui é decisão de convergência em 0 e uso de integração por partes.

Passo 2

Verificamos se a singularidade em x=0 é integrável. Para x próximo de 0,
x\ln(x)\sim x\cdot(-\infty),
mas sabe-se que x\ln(x)\to0 quando x\to0^+. Logo a integral converge se a parte não explodir mais rápido que 1/x, o que não ocorre aqui.

Passo 3

Aplicamos integração por partes com
u=\ln(x),\quad dv=x\,dx,
de modo que
du=\frac{1}{x}\,dx,\quad v=\frac{x^2}{2}.
Então
\int_{0}^{1} x\ln(x)\,dx =\Bigl.\frac{x^2}{2}\ln(x)\Bigr|_{0}^{1} -\int_{0}^{1}\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Calculamos os termos:
  1. Em x=1: \tfrac{1^2}{2}\ln(1)=0.
  2. Em x\to0^+: \tfrac{x^2}{2}\ln(x)\to0 (porque x^2 anula o \ln(x)).
  3. A integral remanescente é
\int_{0}^{1}\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x\,dx =\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{4}.
Assim
\int_{0}^{1} x\ln(x)\,dx =0- \frac{1}{4} =-\frac{1}{4}.

Resposta

-\frac{1}{4}

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