Calcule as integrais impróprias ou diga quando são divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
que é um caso de integral com limite superior infinito. Vamos usar decomposição em frações parciais e, em seguida, tratar o limite
.
Passo 2
Observamos que o integrando é contínuo em
, logo a única impropriedade vem do limite infinito. Escrevemos
Passo 3
Fazendo a decomposição em frações parciais:
Multiplicando por
obtém-se
Comparando coeficientes temos
Logo
Passo 4
Calculamos a primitiva:
Passo 5
Voltando à integral imprópria e aplicando os limites:
Como
, fica
Resposta
A integral converge e vale
.