Calcule as integrais impróprias ou diga quando são divergentes.
\int_{2}^{\infty} \frac{3}{x^{2}-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{3}{x^{2}-x}\,dx
que é um caso de integral com limite superior infinito. Vamos usar decomposição em frações parciais e, em seguida, tratar o limite b\to\infty.

Passo 2

Observamos que o integrando é contínuo em [2,\infty), logo a única impropriedade vem do limite infinito. Escrevemos
\int_{2}^{\infty} \frac{3}{x^{2}-x}\,dx =\lim_{b\to\infty}\int_{2}^{b} \frac{3}{x(x-1)}\,dx.

Passo 3

Fazendo a decomposição em frações parciais:
\frac{3}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}.
Multiplicando por x(x-1) obtém-se
3 = A(x-1) + Bx = (A+B)x - A.
Comparando coeficientes temos
A+B=0,\quad -A=3\;\Longrightarrow\;A=-3,\;B=3.
Logo
\frac{3}{x(x-1)} = -\frac{3}{x} + \frac{3}{x-1}.

Passo 4

Calculamos a primitiva:
\int\Bigl(-\frac{3}{x}+\frac{3}{x-1}\Bigr)\,dx = -3\ln|x| + 3\ln|x-1| + C =3\ln\!\bigl|\tfrac{x-1}{x}\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à integral imprópria e aplicando os limites:
\lim_{b\to\infty}\Bigl[\,3\ln\!\bigl|\tfrac{x-1}{x}\bigr|\Bigr]_{x=2}^{x=b} = \lim_{b\to\infty}3\ln\!\bigl(1-\tfrac{1}{b}\bigr) -3\ln\!\bigl(\tfrac{2-1}{2}\bigr).
Como \ln(1-\tfrac{1}{b})\to\ln(1)=0, fica
0 - 3\ln\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) = -3\bigl(-\ln2\bigr) =3\ln2.

Resposta

A integral converge e vale 3\ln2.

Exercícios relacionados