Calcule as integrais impróprias ou diga quando são divergentes.
\int_{0}^{1}-\ln (x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{1} -\ln(x)\,dx
que é imprópria porque \ln(x) diverge quando x\to0^+. Vamos usar o conceito de limite para integrais impróprias e encontrar uma antiderivada de -\ln(x) por integração por partes.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite
\int_{0}^{1} -\ln(x)\,dx = \lim_{a\to0^+}\int_{a}^{1} -\ln(x)\,dx.

Passo 3

Para achar \displaystyle\int -\ln(x)\,dx, usamos integração por partes com
u = -\ln(x),\quad dv = dx
du = -\frac{1}{x}\,dx,\quad v = x.
Logo,
\int -\ln(x)\,dx = uv - \int v\,du = -x\ln(x) - \int x\Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)dx = -x\ln(x) + \int 1\,dx = -x\ln(x) + x + C.

Passo 4

Avaliamo a integral definida como
\int_{a}^{1} -\ln(x)\,dx =\bigl[-x\ln(x)+x\bigr]_{x=a}^{x=1} =\bigl(-1\cdot\ln1+1\bigr)-\bigl(-a\ln a + a\bigr) =1 + a\ln a - a.
Agora tomamos a\to0^+. Sabemos que a\ln a\to0 e a\to0, portanto o limite é
\lim_{a\to0^+}\bigl(1 + a\ln a - a\bigr) =1.

Resposta

1

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