Calcule as integrais impróprias ou diga quando são divergentes.
\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^{2 / 3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^{2/3}} \, dx
que tem singularidade em x=0. O conteúdo da matéria é integrais impróprias e uso do critério de p-integrais. Para tratar a descontinuidade em zero, dividimos em duas integrais próprias sobre [-1,0] e [0,1].

Passo 2

Na vizinhança de zero, o integrando se comporta como x^{-2/3}. Pelo critério de p-integrais,
\int_{0}^{1} x^{-p}\,dx
converge se p<1. Aqui temos p = \tfrac{2}{3}<1, logo
\int_{0}^{1} x^{-2/3}\,dx
é convergente.

Passo 3

Calculemos explicitamente
\int_{0}^{1} x^{-2/3}\,dx = \left[\frac{x^{1/3}}{1/3}\right]_{0}^{1} = 3\bigl(x^{1/3}\bigr)\Big|_{0}^{1} = 3.

Passo 4

Na outra parte, de -1 a 0, notamos que
x^{-2/3} = |x|^{-2/3}
é função par, então
\int_{-1}^{0} \frac{1}{x^{2/3}}\,dx
tem a mesma área e também vale 3.

Passo 5

Somando as duas contribuições, obtemos
\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^{2/3}}\,dx = 3 + 3 = 6.

Resposta

6

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