Calcule as integrais impróprias ou diga quando são divergentes.
\int_{2}^{\infty} \frac{2}{x^{2}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{2}{x^{2}-1}\,dx,
que é imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais e depois aplicar o limite para x\to\infty.

Passo 2

Decompondo em frações parciais temos
\frac{2}{x^{2}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando por x^{2}-1 obtém-se
2 = A(x+1)+B(x-1) = (A+B)x + (A-B).
Comparando coeficientes segue
A+B=0,\quad A-B=2,
cuja solução é A=1 e B=-1. Portanto
\frac{2}{x^{2}-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}.

Passo 3

Integramos indefinidamente:
\int\frac{2}{x^{2}-1}\,dx =\int\Bigl(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\Bigr)\,dx =\ln\bigl|x-1\bigr|-\ln\bigl|x+1\bigr|+C.

Passo 4

Agora avaliamos o limite impróprio:
\int_{2}^{\infty}\frac{2}{x^{2}-1}\,dx =\lim_{R\to\infty}\Bigl[\ln\bigl|x-1\bigr|-\ln\bigl|x+1\bigr|\Bigr]_{2}^{R}.
Para x=R o termo \ln\bigl|\tfrac{R-1}{R+1}\bigr|\to\ln(1)=0.
Para x=2 temos \ln\bigl|\tfrac{2-1}{2+1}\bigr|=\ln\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)=-\ln3.
Logo o valor da integral é
0 - \bigl(-\ln3\bigr)=\ln3.

Resposta

\displaystyle \ln3

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