Calcule as integrais impróprias ou diga quando são divergentes.
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{1,001}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{1,001}}\,dx
Esse é um caso clássico de integral do tipo \displaystyle\int_{1}^{\infty}x^{-p}dx, que converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=1,001>1, então esperamos convergência. Para achar o valor, vamos usar a primitiva de x^{-1,001}.

Passo 2

A primitiva de x^{-1,001} é obtida pela fórmula
\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C,
valendo para \alpha\neq -1. No nosso caso \alpha=-1,001, logo
\int x^{-1,001}\,dx =\frac{x^{-1,001+1}}{-1,001+1} =\frac{x^{-0,001}}{-0,001}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{1,001}}\,dx =\lim_{b\to\infty}\left[\frac{x^{-0,001}}{-0,001}\right]_{1}^{b} =\lim_{b\to\infty}\frac{b^{-0,001}}{-0,001} -\frac{1^{-0,001}}{-0,001}.
Como b^{-0,001}\to0 quando b\to\infty, sobra
0-\frac{1}{-0,001} =\frac{1}{0,001} =1000.

Resposta

\displaystyle1000

Exercícios relacionados