(2 pontos) Enuncie o Teste da Série Alternada. Usando o referido Teste, verifique a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n}
quantoa convergência ou divergência.

Passo 1

O enunciado pede para enunciar o Teste da Série Alternada e, em seguida, usar esse teste na série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{e^{\frac1n}}{n}
O conteúdo é o Teste de Leibniz para séries alternadas. Precisamos (i) enunciar o teste; (ii) verificar que os termos em valor absoluto formam uma sequência positiva, decrescente e que tende a zero.

Passo 2

Enunciado do Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz)
Seja uma série
\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}a_n
com a_n>0 para todo n. Se
  1. \{a_n\} é decrescente, isto é, a_{n+1}\le a_n para n suficientemente grande,
  2. \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0,
    então a série converge.

Passo 3

Defina
a_n = \frac{e^{\frac1n}}{n}.
Primeiro, note que a_n>0 para todo n, pois e^{\frac1n}>0 e n>0.

Passo 4

Verificamos que \{a_n\} é decrescente: considere a função contínua
f(x)=\frac{e^{1/x}}{x},\quad x>0.
Calculando a derivada:
f'(x) = e^{1/x}\bigl(-\tfrac1{x^2}\bigr)\cdot\tfrac1{x} + e^{1/x}\bigl(-\tfrac1{x^2}\bigr) = -e^{1/x}\Bigl(\frac1{x^3}+\frac1{x^2}\Bigr)<0.
Como f'(x)<0 em x>0, f é decrescente e, portanto, a_{n+1}=f(n+1)\le f(n)=a_n.

Passo 5

Calculamos o limite dos termos:
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{e^{1/n}}{n} =\frac{e^0}{\infty} =0.

Resposta

Pela verificação dos itens do Teste de Leibniz (positividade, decrescimento e limite zero), a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{e^{\frac1n}}{n}
converge.

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