(2 pontos) Enuncie o Teste da Série Alternada. Usando o referido Teste, verifique a série
quantoa convergência ou divergência.
Passo 1
O enunciado pede para enunciar o Teste da Série Alternada e, em seguida, usar esse teste na série
O conteúdo é o Teste de Leibniz para séries alternadas. Precisamos (i) enunciar o teste; (ii) verificar que os termos em valor absoluto formam uma sequência positiva, decrescente e que tende a zero.
Passo 2
Enunciado do Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz)
Seja uma série
Seja uma série
com
para todo
. Se
-
é decrescente, isto é, para suficientemente grande, -
,
então a série converge.
Passo 3
Defina
Primeiro, note que
para todo
, pois
e
.
Passo 4
Verificamos que
é decrescente: considere a função contínua
Calculando a derivada:
Como
em
,
é decrescente e, portanto,
.
Passo 5
Calculamos o limite dos termos:
Resposta
Pela verificação dos itens do Teste de Leibniz (positividade, decrescimento e limite zero), a série
converge.