Calcule as integrais impróprias.
f)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral imprópria
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais impróprias que envolvem limites infinitos. Para resolver isso, vamos precisar usar integração por partes e entender como lidar com limites infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes:
Vamos escolher
e
. Agora, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Para encontrar
, precisamos integrar
:
Vamos fazer uma substituição para resolver essa integral. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Ignorando a constante de integração, temos:
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que:
Portanto, substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a
. Ou seja:
Vamos analisar cada termo no limite:
-
Quando
: Então: -
-
Quando
: Então: -
Passo 7
Subtraindo os valores nos limites:
Resposta
A integral
é igual a
.