Calcule as integrais impróprias.
f) integral0^infty x arctan x(1+x^2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais impróprias que envolvem limites infinitos. Para resolver isso, vamos precisar usar integração por partes e entender como lidar com limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher e . Agora, precisamos encontrar e .

Passo 3

Calculando u = arctan x implies du = 11 + x^2 , dx :
dv = x(1 + x^2)^2 , dx
Agora, calculando v = integral x(1 + x^2)^2 , dx :
v = integral 1w^2 cdot dw2 = 12 integral w^-2 , dw = 12 ( -w^-1 ) + C = -12w + C = -12(1 + x^2) + C
Para encontrar v = -12(1 + x^2) , precisamos integrar :
Vamos fazer uma substituição para resolver essa integral. Seja , então , ou seja, . Substituindo:
Ignorando a constante de integração, temos:

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo integral arctan x cdot x(1 + x^2)^2 , dx = arctan x cdot ( -12(1 + x^2) ) - integral ( -12(1 + x^2) ) cdot 11 + x^2 , dx :
= -arctan x2(1 + x^2) + 12 integral 1(1 + x^2)^2 , dx
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos calcular integral 1(1 + x^2)^2 , dx = x2(1 + x^2) + 12 arctan x + C . Sabemos que:
-arctan x2(1 + x^2) + 12 ( x2(1 + x^2) + 12 arctan x ) + C
Portanto, substituindo de volta:
-arctan x2(1 + x^2) + x4(1 + x^2) + arctan x4 + C
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a [ -arctan x2(1 + x^2) + x4(1 + x^2) + arctan x4 ]0^infty . Ou seja:
-arctan x2(1 + x^2) to 0
Vamos analisar cada termo no limite:
  1. Quando x4(1 + x^2) to 0 :
    • arctan x4 to pi8
    • -arctan 02(1 + 0^2) = 0
    • 04(1 + 0^2) = 0
    Então:
    arctan 04 = 0
  2. Quando :
    Então:

Passo 7

Subtraindo os valores nos limites:
( 0 + 0 + pi8 ) - ( 0 + 0 + 0 ) = pi8

Resposta

A integral é igual a .

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