Encontre o comprimento da curva y=integral1^x raizraizt-1 d t, 1 <= x <= 16. Em seguida, calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por no intervalo . Precisamos encontrar o comprimento dessa curva e depois calcular a área da superfície obtida quando essa curva é girada em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas, integrais e fórmulas específicas para comprimento de curvas e áreas de superfícies de revolução.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada de dydx = raizraizx - 1 em relação a . De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, se , então . Aqui, , então:

Passo 3

Agora, usamos a fórmula do comprimento da curva L = integrala^b raiz1 + ( dydx )^2 , dx no intervalo L = integral1^16 raiz1 + ( raizraizx - 1 )^2 , dx :
Substituindo :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
( raizraizx - 1 )^2 = raizx - 1
Então, a expressão para L = integral1^16 raiz1 + raizx - 1 , dx = integral1^16 raizraizx , dx = integral1^16 x^1/4 , dx fica:

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
L = integral1^16 x^1/4 , dx = [ 45 x^5/4 ]1^16 = 45 ( 16^5/4 - 1^5/4 )
Sabemos que L = 45 (32 - 1) = 45 times 31 = 1245 = 24,8 , então . Portanto:

Passo 6

Agora, vamos calcular a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo A = 2pi integrala^b x raiz1 + ( dydx )^2 , dx . Usamos a fórmula:
A = 2pi integral1^16 x cdot x^1/4 , dx = 2pi integral1^16 x^5/4 , dx
Substituindo :

Passo 7

Calculamos a integral:
A = 2pi integral1^16 x^5/4 , dx = 2pi [ 49 x^9/4 ]1^16 = 8pi9 ( 16^9/4 - 1^9/4 )
Sabemos que A = 8pi9 (512 - 1) = 8pi9 times 511 = 4088pi9 approx 452pi , então . Assim:

Resposta

O comprimento da curva é unidades e a área da superfície de rotação é aproximadamente unidades quadradas.

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