Encontre o comprimento da curva
. Em seguida, calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo y.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por
no intervalo
. Precisamos encontrar o comprimento dessa curva e depois calcular a área da superfície obtida quando essa curva é girada em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas, integrais e fórmulas específicas para comprimento de curvas e áreas de superfícies de revolução.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada de
em relação a
. De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, se
, então
. Aqui,
, então:
Passo 3
Agora, usamos a fórmula do comprimento da curva
no intervalo
:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a expressão para
fica:
Passo 5
Agora, calculamos a integral:
Sabemos que
, então
. Portanto:
Passo 6
Agora, vamos calcular a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo
. Usamos a fórmula:
Substituindo
:
Passo 7
Calculamos a integral:
Sabemos que
, então
. Assim:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades e a área da superfície de rotação é aproximadamente
unidades quadradas.