Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre a sua área.
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Passo 1
Beleza, a gente vai resolver um exercício que pede para esboçar a região delimitada pelas curvas
e
e encontrar a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como a integração para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso nos dá os limites para calcular a área.
Passo 3
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 4
Reorganizando a equação:
Agora, podemos resolver essa equação quadrática. Factoreando ou usando a fórmula de Bhaskara, encontramos:
Passo 5
Com os valores de
em mãos, sabemos que as curvas se encontram nos pontos
e
. Vamos esboçar as curvas:
- A reta
é uma linha reta que passa pela origem. - A parábola
tem o vértice em e se abre para cima.
Entre
e
, a reta está acima da parábola.
Passo 6
Agora, para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da área entre duas curvas:
Aqui,
e
, com
e
.
Passo 7
Substituindo na fórmula:
Simplificando dentro da integral:
Passo 8
Agora, achamos a antiderivada da função dentro da integral:
Passo 9
Em seguida, avaliamos a antiderivada nos limites de integração:
Calculando para
:
Calculando para
:
Passo 10
Finalmente, subtraímos os valores encontrados:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.