Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre a sua área.
f) y = x, y = x^2 - 2

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício que pede para esboçar a região delimitada pelas curvas e e encontrar a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como a integração para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso nos dá os limites para calcular a área.

Passo 3

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 4

Reorganizando a equação:
Agora, podemos resolver essa equação quadrática. Factoreando ou usando a fórmula de Bhaskara, encontramos:

Passo 5

Com os valores de em mãos, sabemos que as curvas se encontram nos pontos e . Vamos esboçar as curvas:
  • A reta é uma linha reta que passa pela origem.
  • A parábola tem o vértice em e se abre para cima.
Entre e , a reta está acima da parábola.

Passo 6

Agora, para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da área entre duas curvas:
Á
Aqui, e , com e .

Passo 7

Substituindo na fórmula:
Á
Simplificando dentro da integral:
Á

Passo 8

Agora, achamos a antiderivada da função dentro da integral:

Passo 9

Em seguida, avaliamos a antiderivada nos limites de integração:
Calculando para :
Calculando para :

Passo 10

Finalmente, subtraímos os valores encontrados:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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