Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada parcial de ordem três de uma função
em relação a
, depois
, e depois
. Vamos usar os conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
, onde
. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial, ou seja, a derivada de
em relação a
:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Calculando
:
Então,
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a terceira derivada parcial, ou seja, a derivada de
em relação a
:
Vamos derivar essa expressão em relação a
. Primeiro, observe que
é tratado como constante em relação a
.
Usamos a regra da cadeia novamente:
Calculando
:
Agora, aplicando na derivada:
Resposta
A derivada parcial de ordem três é: