Determine as derivadas parciais indicadas.
u=ln (x+2 y^2+3 z^3) ; partial^3 upartial x partial y partial z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada parcial de ordem três de uma função em relação a , depois , e depois . Vamos usar os conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial upartial x = 1x + 2y^2 + 3z^3 cdot partialpartial x(x + 2y^2 + 3z^3) = 1x + 2y^2 + 3z^3 cdot 1 = 1x + 2y^2 + 3z^3 em relação a , ou seja, .
A função é , onde . A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial, ou seja, a derivada de partial^2 upartial y partial x = partialpartial y ( 1x + 2y^2 + 3z^3 ) em relação a partialpartial y ( 1f ) = -1f^2 cdot partial fpartial y :
partialpartial y(x + 2y^2 + 3z^3) = 4y
Para derivar partial^2 upartial y partial x = -4y(x + 2y^2 + 3z^3)^2 em relação a , usamos a regra da cadeia:
Calculando :
Então,

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a terceira derivada parcial, ou seja, a derivada de partial^3 upartial z partial y partial x = partialpartial z ( -4y(x + 2y^2 + 3z^3)^2 ) em relação a partialpartial z ( 1(f)^2 ) = -2 cdot 1f^3 cdot partial fpartial z :
partialpartial z(x + 2y^2 + 3z^3) = 9z^2
Vamos derivar essa expressão em relação a partial^3 upartial z partial y partial x = -4y cdot ( -2 cdot 9z^2(x + 2y^2 + 3z^3)^3 ) = 72y z^2(x + 2y^2 + 3z^3)^3 . Primeiro, observe que é tratado como constante em relação a .
Usamos a regra da cadeia novamente:
Calculando :
Agora, aplicando na derivada:

Resposta

A derivada parcial de ordem três é:
partial^3 upartial x partial y partial z = 72y z^2(x + 2y^2 + 3z^3)^3

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