Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z = x^2 - y^2, (3, -2, 5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Vamos usar cálculo, especificamente derivadas parciais, para achar essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que para encontrar a equação de um plano tangente a uma superfície no ponto dado, a gente precisa das derivadas parciais da função que define a superfície em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
onde é o ponto de tangência.

Passo 6

Substituindo os valores que temos:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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