Calcule as integrais impróprias.
g) integral0^5 x(x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Esse tipo de integral aparece quando a função que estamos integrando tem uma descontinuidade no intervalo de integração. Aqui, o denominador se anula quando , o que cria uma assimptota vertical. Para resolver, vamos precisar dividir a integral nesse ponto e usar limites para lidar com a descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, identificamos que está dentro do intervalo e faz com que o denominador seja zero, ou seja, a função não está definida em . Isso nos mostra que a integral é imprópria por ter uma descontinuidade no meio do intervalo.

Passo 3

Como a integral é imprópria devido à descontinuidade em , vamos dividi-la em duas integrais menores: uma de até e outra de até . Depois, vamos calcular o limite dessas integrais quando nos aproximamos de .

Passo 4

Vamos escrever a integral original como a soma de duas integrais:
integral0^5 xx-2 , dx = lima to 2^- integral0^a xx-2 , dx + limb to 2^+ integralb^5 xx-2 , dx
Aqui, significa que se aproxima de pela esquerda, e significa que se aproxima de pela direita.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral xx-2 = 1 + 2x-2 . Podemos simplificar a fração dividindo integral (1 + 2x-2) , dx = integral 1 , dx + integral 2x-2 , dx = x + 2 ln|x-2| + C por :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos aplicar os limites às duas integrais que dividimos:
  1. Para lima to 2^- [ a + 2 ln|a-2| - (0 + 2 ln|0-2|) ] = lima to 2^- [ a + 2 ln(2-a) - 2 ln 2 ] :
limb to 2^+ [5 + 2 ln|5-2| - (b + 2 ln|b-2|) ] = 5 + 2 ln 3 - limb to 2^+ [ b + 2 ln(b-2) ]
À medida que se aproxima de pela esquerda, se aproxima de , e tende a . Portanto, essa parte da integral tende a .
  1. Para :
À medida que se aproxima de pela direita, se aproxima de , e tende a . Portanto, essa parte da integral também tende a .

Passo 7

Somando as duas partes, temos . Isso significa que a integral imprópria diverge para .

Resposta

A integral imprópria diverge para .

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