Calcule as integrais impróprias.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral imprópria
. Esse tipo de integral aparece quando a função que estamos integrando tem uma descontinuidade no intervalo de integração. Aqui, o denominador
se anula quando
, o que cria uma assimptota vertical. Para resolver, vamos precisar dividir a integral nesse ponto e usar limites para lidar com a descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, identificamos que
está dentro do intervalo
e faz com que o denominador seja zero, ou seja, a função
não está definida em
. Isso nos mostra que a integral é imprópria por ter uma descontinuidade no meio do intervalo.
Passo 3
Como a integral é imprópria devido à descontinuidade em
, vamos dividi-la em duas integrais menores: uma de
até
e outra de
até
. Depois, vamos calcular o limite dessas integrais quando nos aproximamos de
.
Passo 4
Vamos escrever a integral original como a soma de duas integrais:
Aqui,
significa que
se aproxima de
pela esquerda, e
significa que
se aproxima de
pela direita.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
. Podemos simplificar a fração dividindo
por
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos aplicar os limites às duas integrais que dividimos:
- Para
:
À medida que
se aproxima de
pela esquerda,
se aproxima de
, e
tende a
. Portanto, essa parte da integral tende a
.
- Para
:
À medida que
se aproxima de
pela direita,
se aproxima de
, e
tende a
. Portanto, essa parte da integral também tende a
.
Passo 7
Somando as duas partes, temos
. Isso significa que a integral imprópria
diverge para
.
Resposta
A integral imprópria
diverge para
.