Use diferenciais para aproximar o número.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar diferenciais para aproximar dois números:
e
. A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo diferencial, especificamente a utilização de diferenciais para aproximar funções próximas de um ponto conhecido. Para isso, precisamos entender como as dérivas (derivadas) das funções
e
nos ajudam a fazer essas aproximações.
Passo 2
Vamos começar aproximando
. A função que estamos lidando aqui é
. Queremos aproximar
. Sabemos que calcular exatamente a raiz quadrada pode ser trabalhoso sem uma calculadora, então vamos usar diferenciais para facilitar.
Passo 3
Primeiro, escolhemos um ponto próximo onde sabemos o valor exato da função. Nesse caso,
é uma boa escolha porque
. Agora, vamos calcular a derivada de
.
A derivada de
é:
Passo 4
No ponto
, a derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula dos diferenciais para aproximar
. A fórmula é:
onde
e
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Agora, vamos aproximar
. A função aqui é
. Queremos encontrar
. Novamente, escolhemos um ponto próximo onde sabemos o valor exato, que é
, já que
.
Passo 8
Calculamos a derivada de
:
Passo 9
No ponto
, a derivada fica:
Passo 10
Usando a fórmula dos diferenciais:
onde
e
.
Passo 11
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
Usando diferenciais, as aproximações são: