Use diferenciais para aproximar o número.
raiz(0,99) * e^(0,02)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar diferenciais para aproximar dois números: raiz(0,99) e . A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo diferencial, especificamente a utilização de diferenciais para aproximar funções próximas de um ponto conhecido. Para isso, precisamos entender como as dérivas (derivadas) das funções raiz(x) e e^x nos ajudam a fazer essas aproximações.

Passo 2

Vamos começar aproximando raiz(0,99). A função que estamos lidando aqui é f(x) = raiz(x). Queremos aproximar . Sabemos que calcular exatamente a raiz quadrada pode ser trabalhoso sem uma calculadora, então vamos usar diferenciais para facilitar.

Passo 3

Primeiro, escolhemos um ponto próximo onde sabemos o valor exato da função. Nesse caso, x = 1 é uma boa escolha porque . Agora, vamos calcular a derivada de f(x) = raiz(x).
A derivada de f(x) é:

Passo 4

No ponto x = 1, a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula dos diferenciais para aproximar . A fórmula é:
onde e .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 7

Agora, vamos aproximar . A função aqui é . Queremos encontrar . Novamente, escolhemos um ponto próximo onde sabemos o valor exato, que é x = 0, já que .

Passo 8

Calculamos a derivada de :

Passo 9

No ponto x = 0, a derivada fica:

Passo 10

Usando a fórmula dos diferenciais:
onde e .

Passo 11

Substituindo os valores na fórmula:

Resposta

Usando diferenciais, as aproximações são:

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