Calcule as integrais impróprias a seguir, indicando se elas convergem ou divergem:
integral2^pi d xx(log (x))^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral2^pidxx,(log x)^2
e informar se ela converge ou diverge. O conteúdo é de integrais impróprias, mas primeiro vamos checar continuidade da função integranda.

Passo 2

Note que log xneq0 para todo xin[2,pi], logo
f(x)=1x(log x)^2
é contínua em [2,pi]. Portanto a integral é própria e certamente converge; basta achar a antiderivada.

Passo 3

Para encontrar a antiderivada, use a substituição
u=log x, du=dxx
Então
integraldxx(log x)^2 =integral u^-2,du

Passo 4

Calculando
integral u^-2,du =-u^-1+C =-1u+C
e voltando a x, obtemos
F(x)=-1log x+C

Passo 5

Avaliaremos de 2 a pi:
integral2^pidxx(log x)^2 =l[-tfrac1log xr]2^pi =-1logpi+1log2 =1log2-1logpi

Resposta

A integral converge e vale
1log2-1logpi

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