Calcule as integrais impróprias a seguir, indicando se elas convergem ou divergem:
integral0^3 1u^2-2 u-3 d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^3 1u^2-2u-3,du
e determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo envolve identificação de singularidades de funções racionais, frações parciais e o uso de limite para tratar o ponto de descontinuidade.

Passo 2

Identificamos onde o denominador zera:
u^2-2u-3 = (u-3)(u+1)=0
logo há descontinuidades em u=3 e u=-1. No intervalo de integração [0,3], apenas u=3 é relevante (é o limite superior), caracterizando uma integral imprópria no extremo superior.

Passo 3

Expressamos a integral como limite:
integral0^3 duu^2-2u-3 = limbto3^- integral0^b du(u-3)(u+1)

Passo 4

Fazemos frações parciais:
1(u-3)(u+1) = Au-3 + Bu+1,
com 1 = A(u+1) + B(u-3). Para u=3 A=tfrac14; para u=-1 B=-tfrac14. Assim
1(u-3)(u+1) = 14l(1u-3-1u+1r)
e um antiderivado é
integraldu(u-3)(u+1) = 14l[ln|u-3|-ln|u+1|r]+C

Passo 5

Avaliaremos de 0 a b:
integral0^bduu^2-2u-3 = 14l(ln|b-3|-ln|b+1|r) - 14l(ln|-3|-ln|1|r)
Como |-3|=3 e |1|=1, isso fica
14l(ln|b-3|b+1-ln3r)

Passo 6

Tomando bto3^-, temos |b-3|=3-bto0^+, então
ln3-bb+1toln0=-infty
Isto faz o limite divergir para -infty, e portanto a integral não converge.

Resposta

A integral é divergente (tende a -infty).

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