Calcule as integrais impróprias a seguir, indicando se elas convergem ou divergem:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
e determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo envolve identificação de singularidades de funções racionais, frações parciais e o uso de limite para tratar o ponto de descontinuidade.
Passo 2
Identificamos onde o denominador zera:
logo há descontinuidades em
e
. No intervalo de integração
, apenas
é relevante (é o limite superior), caracterizando uma integral imprópria no extremo superior.
Passo 3
Expressamos a integral como limite:
Passo 4
Fazemos frações parciais:
com
. Para
dá
; para
dá
. Assim
e um antiderivado é
Passo 5
Avaliaremos de
a
:
Como
e
, isso fica
Passo 6
Tomando
, temos
, então
Isto faz o limite divergir para
, e portanto a integral não converge.
Resposta
A integral é divergente (tende a
).