Calcule a integral abaixo, usando o Método de Frações Parciais.
Passo 1
Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Precisamos calcular a integral:
Usaremos o Método de Frações Parciais, que é uma técnica para quebrar frações racionais (como essa) em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e encontrar constantes que simplificam a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Esse é um caso de diferença de cubos, que pode ser fatorado da seguinte maneira:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, vamos expressar a fração
como uma soma de frações parciais:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Para encontrar
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 5
Vamos expandir os termos do lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos polinômios de mesmo grau devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações:
-
Da primeira equação,
. -
Substituindo
na segunda equação:
- Da terceira equação:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Então,
.
Substituindo
na terceira equação:
Passo 8
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para integrar o segundo termo, vamos completar o quadrado no denominador:
Passo 10
Usando a substituição
, temos
. Ajustando a expressão, conseguimos separar a integral em partes que envolvem logaritmos e funções arctan:
Resposta
A integral calculada é:
onde
é a constante de integração.