Calcule a integral abaixo, usando o Método de Frações Parciais.
integral x+2x^3-1 d x

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Precisamos calcular a integral:
integral x + 2x^3 - 1 , dx
Usaremos o Método de Frações Parciais, que é uma técnica para quebrar frações racionais (como essa) em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e encontrar constantes que simplificam a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 1. Esse é um caso de diferença de cubos, que pode ser fatorado da seguinte maneira:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos expressar a fração x + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) como uma soma de frações parciais:
x + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + x + 1
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Para encontrar A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x - 1)(x^2 + x + 1) para eliminar as frações:
x + 2 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x - 1)

Passo 5

Vamos expandir os termos do lado direito:
x + 2 = A x^2 + A x + A + B x^2 - B x + C x - C
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
x + 2 = (A + B) x^2 + (A - B + C) x + (A - C)

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x, os coeficientes dos polinômios de mesmo grau devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
  1. Coeficiente de x^2:
A + B = 0
  1. Coeficiente de x:
A - B + C = 1
  1. Termo constante:
A - C = 2

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação, A + B = 0 Rightarrow B = -A.
  2. Substituindo B = -A na segunda equação:
A - (-A) + C = 1 Rightarrow 2A + C = 1
  1. Da terceira equação:
A - C = 2
Agora temos:
2A + C = 1
A - C = 2
Somando as duas equações:
3A = 3 Rightarrow A = 1
Então, B = -1.
Substituindo A = 1 na terceira equação:
1 - C = 2 Rightarrow C = -1

Passo 8

Com os valores de A, B e C encontrados, podemos reescrever a fração original:
x + 2x^3 - 1 = 1x - 1 + -x - 1x^2 + x + 1
Simplificando:
1x - 1 - x + 1x^2 + x + 1

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral 1x - 1 , dx = ln|x - 1| + C1
  2. integral x + 1x^2 + x + 1 , dx
Para integrar o segundo termo, vamos completar o quadrado no denominador:
x^2 + x + 1 = (x + 12)^2 + 34

Passo 10

Usando a substituição u = x^2 + x + 1, temos du = (2x + 1) dx. Ajustando a expressão, conseguimos separar a integral em partes que envolvem logaritmos e funções arctan:
integral x + 1x^2 + x + 1 , dx = 12 ln|x^2 + x + 1| + raiz33 tan^-1(2x + 1raiz3) + C2

Resposta

A integral calculada é:
ln|x - 1| - 12 ln|x^2 + x + 1| + raiz33 tan^-1(2x + 1raiz3) + C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados