1. Suponha que uma mola tenha uma massa m e constante de mola k e seja omega=raizk / m. Suponha uma constante de amortecimento tão pequena que a força de amortecimento seja desprezível. Se uma força externa F(t)=F0 cos omega0 t for aplicada, onde omega0 neq omega, use o método dos coeficientes indeterminados para mostrar que o movimento da massa é descrito pela Equação 6.

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador harmônico sem amortecimento sujeito a uma força externa F(t)=F0cosomega0t. A equação de movimento é
mddot x + kx = F0cosomega0t,
sendo omega=raizk/m. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral e mostrar que ela coincide com a Equação 6 do enunciado.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea
mddot x + kx = 0
Dividindo por m e lembrando que k/m=omega^2, obtemos
ddot x + omega^2 x = 0,
cuja solução é
xh(t)=C1cosomega t + C2sinomega t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular da forma
xp(t)=Acosomega0t
Calculamos sua segunda derivada:
ddot xp(t)=-A,omega0^2cosomega0t,
e substituímos na equação completa:

Passo 4

m(-A,omega0^2cosomega0t)+k(Acosomega0t)=F0cosomega0t
Agrupando cosomega0t surge
Al(k - m,omega0^2r)=F0
Como k=m,omega^2, temos
A=F0m(omega^2-omega0^2)

Passo 5

A solução geral é a soma das partes homogênea e particular:
x(t)=C1cosomega t + C2sinomega t + F0m(omega^2-omega0^2),cosomega0t
Se impusermos, por exemplo, condições iniciais x(0)=0 e dot x(0)=0, determina-se
C1=-F0m(omega^2-omega0^2), C2=0,
e então
x(t) =F0m(omega^2-omega0^2)l(cosomega0t-cosomega tr),
que é exatamente a forma mostrada pela Equação 6.

Resposta

x(t) =F0m(omega^2-omega0^2)l(cosomega0t-cosomega tr)

Exercícios relacionados