Resolva as seguintes equaçōes diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método das equações características. Precisamos encontrar as raízes da equação característica para determinar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
e
por
:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Passo 4
Vamos analisar o discriminante
:
- Se
: raízes reais e distintas. - Se
: raízes reais e iguais. - Se
: raízes complexas.
Assumindo que
(já que geralmente
é tal que isso ocorre), temos raízes complexas.
Passo 5
Com raízes complexas, podemos escrever as raízes na forma:
Onde:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial com raízes complexas é:
Substituindo
e
:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
:
Primeiro, aplicando
:
Então,
.
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada
e aplicar
:
Primeiro, derivamos
:
Aplicando
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: