Resolva as seguintes equaçōes diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
a^2 d^2 yd t^2 + 2 d yd t + 4 y = 0
Estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método das equações características. Precisamos encontrar as raízes da equação característica para determinar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos d^2 yd t^2 por r^2 e d yd t por r :
a^2 r^2 + 2 r + 4 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para r . Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Aqui, a = a^2 , b = 2 e c = 4 . Substituindo:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4(a^2)(4) 2a^2 = -2 pm raiz4 - 16a^2 2a^2

Passo 4

Vamos analisar o discriminante De<a = 4 - 16a^2 :
  • Se De<a > 0 : raízes reais e distintas.
  • Se De<a = 0 : raízes reais e iguais.
  • Se De<a < 0 : raízes complexas.
Assumindo que De<a < 0 (já que geralmente a é tal que isso ocorre), temos raízes complexas.

Passo 5

Com raízes complexas, podemos escrever as raízes na forma:
r = alpha pm beta i
Onde:
alpha = -2 2a^2 = -1 a^2 , beta = raiz16a^2 - 4 2a^2 = raiz16a^2 - 4 2a^2

Passo 6

A solução geral da equação diferencial com raízes complexas é:
y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
Substituindo alpha e beta :
y(t) = e^ - t a^2 ( C1 cos( raiz16a^2 - 4 2a^2 t ) + C2 sin( raiz16a^2 - 4 2a^2 t ) )

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2 :
y(0) = 1 e y'(0) = 2
Primeiro, aplicando y(0) = 1 :
1 = e^0 (C1 cos(0) + C2 sin(0)) Rightarrow 1 = C1
Então, C1 = 1 .

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada y'(t) e aplicar y'(0) = 2 :
Primeiro, derivamos y(t) :
y'(t) = -1 a^2 e^ - t a^2 ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) ) + e^ - t a^2 ( -C1 beta sin(beta t) + C2 beta cos(beta t) )
Aplicando t = 0 :
2 = -1 a^2 (1) + beta C2
Resolvendo para C2 :
C2 = 2 + 1a^2 beta = 2a^2 + 1 raiz16a^2 - 4

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^ - t a^2 ( cos( raiz16a^2 - 4 2a^2 t ) + 2a^2 + 1 raiz16a^2 - 4 sin( raiz16a^2 - 4 2a^2 t ) )

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