Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{-\infty}^{\infty} \cos \pi t d t

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}\cos(\pi t)\,\mathrm{d}t,
que é um caso de integral sobre intervalo infinito. Para decidir se ela converge, vamos usar a primitiva de \cos(\pi t) e examinar o comportamento dos limites em \pm\infty.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva de \cos(\pi t). Sabemos que
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(\tfrac{1}{\pi}\sin(\pi t)\bigr) =\cos(\pi t).
Logo, uma antiderivada é
F(t)=\frac{1}{\pi}\sin(\pi t).

Passo 3

Para testar a convergência usamos os limites simétricos
\int_{-A}^{A}\cos(\pi t)\,\mathrm{d}t =F(A)-F(-A) =\frac{1}{\pi}\sin(\pi A)-\frac{1}{\pi}\sin(-\pi A) =\frac{2}{\pi}\sin(\pi A).

Passo 4

Agora examinamos
\lim_{A\to\infty}\frac{2}{\pi}\sin(\pi A).
Como \sin(\pi A) oscila entre -1 e 1 sem convergir a nenhum valor, esse limite não existe. Portanto a integral original não converge.

Resposta

A integral diverge (não existe valor finito para \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos(\pi t)\,\mathrm{d}t).

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