Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{-\infty}^{0} z e^{2 z} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} z\,e^{2z}\,dz.
Este é um caso de integral de tipo I, em que usaremos a definição por limite
e integração por partes para encontrar o valor exato.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite de uma integral própria:
\int_{-\infty}^{0} z\,e^{2z}\,dz =\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} z\,e^{2z}\,dz.

Passo 3

Aplicamos integração por partes em \int z\,e^{2z}\,dz. Escolhemos
u = z,\quad dv = e^{2z}\,dz
logo
du = dz,\quad v = \frac{1}{2}e^{2z}.
Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos o antiderivado
F(z) = \frac{1}{2}z\,e^{2z} - \int \frac{1}{2}e^{2z}\,dz = \frac{1}{2}z\,e^{2z} - \frac{1}{4}e^{2z} = e^{2z}\Bigl(\frac{z}{2}-\frac{1}{4}\Bigr).

Passo 4

Agora avaliamos o limite
\lim_{a\to -\infty}\bigl[F(0)-F(a)\bigr] = \lim_{a\to -\infty}\left[ e^{2\cdot 0}\Bigl(\frac{0}{2}-\frac{1}{4}\Bigr) - e^{2a}\Bigl(\frac{a}{2}-\frac{1}{4}\Bigr) \right].
O primeiro termo é -\tfrac{1}{4}. No segundo, e^{2a}\to0 e \tfrac{a}{2}-\tfrac14\to -\infty,
mas o fator exponencial decai muito mais rápido que a cresce, logo
\lim_{a\to -\infty}e^{2a}\Bigl(\frac{a}{2}-\frac{1}{4}\Bigr)=0.

Resposta

\int_{-\infty}^{0} z\,e^{2z}\,dz = -\frac{1}{4}.

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