Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} x\,e^{-x^{2}}\,dx.
Esse exercício envolve a definição de integral imprópria e a propriedade de simetria (paridade) da função integranda.

Passo 2

Definimos f(x)=x\,e^{-x^{2}} e testamos a paridade comparando f(-x) com f(x).
f(-x)=(-x)\,e^{-(-x)^{2}} =-x\,e^{-x^{2}} =-f(x).
Como f(-x)=-f(x), concluímos que f é uma função ímpar.

Passo 3

Para qualquer função ímpar f, vale
\int_{-A}^{A} f(x)\,dx = 0.
Tomando o limite A\to\infty, obtemos
\int_{-\infty}^{\infty} x\,e^{-x^{2}}\,dx = \lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A} f(x)\,dx = 0.

Resposta

0

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