Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx
O conteúdo principal aqui é troca de variável em integrais impróprias e uso de funções exponenciais para verificar convergência.

Passo 2

Vamos usar a substituição \;t = \sqrt{x}, o que implica \;x = t^2 e \;dx = 2t\,dt.

Passo 3

Com essa troca, quando x vai de 1 até \infty, t também vai de 1 até \infty. A integral fica
\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{t=1}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}\,(2t\,dt) = 2\int_{1}^{\infty} e^{-t}\,dt.

Passo 4

A integral de uma exponencial decrescente é imediata:
2\int_{1}^{\infty} e^{-t}\,dt = 2\bigl[-e^{-t}\bigr]_{1}^{\infty} = 2\bigl(0 - (-e^{-1})\bigr) = 2e^{-1}.

Passo 5

Como \int_{1}^{\infty}e^{-t}\,dt converge (decai exponencialmente), concluímos que a integral original converge e vale 2e^{-1}.

Resposta

\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = 2e^{-1}.

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