Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{-\infty}^{\infty}\left(y^{3}-3 y^{2}\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}\bigl(y^{3}-3y^{2}\bigr)\,dy
O conteúdo é integral imprópria em domínio não limitado e vamos precisar da definição dessa integral como limite de integrais definidas em intervalos finitos e do cálculo de antiderivada.

Passo 2

Definimos a integral imprópria como
\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\,dy =\lim_{a\to-\infty,\;b\to\infty}\int_{a}^{b}f(y)\,dy.

Passo 3

Calculamos uma antiderivada de f(y)=y^{3}-3y^{2}. Temos
F(y)=\int\bigl(y^{3}-3y^{2}\bigr)\,dy =\frac{y^{4}}{4}-y^{3}+C.

Passo 4

Usando essa antiderivada, a integral de a até b é
\int_{a}^{b}\bigl(y^{3}-3y^{2}\bigr)\,dy =F(b)-F(a) =\Bigl(\frac{b^{4}}{4}-b^{3}\Bigr) -\Bigl(\frac{a^{4}}{4}-a^{3}\Bigr).

Passo 5

Agora analisamos o limite
\lim_{a\to-\infty,\;b\to\infty}\Bigl[\Bigl(\tfrac{b^{4}}{4}-b^{3}\Bigr) -\Bigl(\tfrac{a^{4}}{4}-a^{3}\Bigr)\Bigr].
Para b\to\infty, \tfrac{b^{4}}{4}-b^{3}\to+\infty.
Para a\to-\infty, a^{4}/4\to+\infty e -a^{3}\to+\infty, logo \tfrac{a^{4}}{4}-a^{3}\to+\infty.
Assim o termo \bigl[F(b)-F(a)\bigr] não tende a um número finito (é do tipo \infty-\infty que na prática diverge).

Resposta

A integral imprópria diverge (não converge a valor finito).

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