Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[4]{1+x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{1+x}}\,dx
que é imprópria porque o intervalo de integração é infinito. Vamos ver se essa integral converge ou diverge, usando antiderivada e limite.

Passo 2

Definimos o limite finito
I(b)=\int_{0}^{b}\frac{1}{(1+x)^{1/4}}\,dx
e fazemos a substituição u=1+x, de modo que du=dx e, quando x=0, u=1; quando x=b, u=1+b. Assim
I(b)=\int_{u=1}^{\,1+b}u^{-1/4}\,du.
Como a antiderivada de u^{-1/4} é \tfrac{u^{3/4}}{3/4}=\tfrac{4}{3}u^{3/4}, temos
I(b)=\frac{4}{3}\Bigl[(1+b)^{3/4}-1^{3/4}\Bigr] =\frac{4}{3}\bigl((1+b)^{3/4}-1\bigr).

Passo 3

Agora examinamos o comportamento de I(b) quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}I(b) =\frac{4}{3}\lim_{b\to\infty}\bigl((1+b)^{3/4}-1\bigr) =\infty
porque o termo (1+b)^{3/4} cresce sem limite. Logo a integral diverge.

Resposta

A integral diverge (vale \infty).

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