Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(2 x+1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(2x+1)^{3}}\,dx
Isso é um caso de integral de primeira espécie (limite superior infinito). Vamos tratar esse infinito por um limite, encontrar a primitiva e avaliar.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(2x+1)^{3}}\,dx = \lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t} (2x+1)^{-3}\,dx.

Passo 3

Para achar a primitiva de (2x+1)^{-3}, fazemos diretamente:
diferenciando (2x+1)^{-2} -2\cdot2\,(2x+1)^{-3}=-4\,(2x+1)^{-3}.
Logo,
\int (2x+1)^{-3}\,dx = -\frac{1}{4}\,(2x+1)^{-2} + C.
Portanto
\int_{1}^{t} (2x+1)^{-3}\,dx = \left[-\frac{1}{4\,(2x+1)^{2}}\right]_{x=1}^{x=t}.

Passo 4

Avaliaremos o limite:
\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{4\,(2t+1)^{2}} + \frac{1}{4\,(2\cdot1+1)^{2}}\right) = 0 + \frac{1}{4\cdot3^{2}} = \frac{1}{36}.
Assim a integral converge e vale \tfrac{1}{36}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{36}

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